page0379

371

Równania

od piątego, uważanych w ogomej ich postaci. D’AIembert postawił prawo, że każde równanie musi mieć pierwiastek; Cauchy udowodnił jasno to twierdzenie, z którego wypada, że każde równanie stopnia m ma m pierwiastków rzeczywistych lub urojonych. Descartes ogłosił słynne prawidło znaków, kiore tak' da się wysłowi^: w każdern równa mu sprowndzonem do postaci:

X^m-\-Ax^m~ ¹ \-Bx^{m 2}Ą-Cx^m 3-f-.....o, liczba pierwiastków

dodatnych nie może być większa od liczby zmian znaków, postępując od jednego wyrazu do drugiego; w równaniu zupełnem liczba pierwiastków od-jemnych nie może być większa od liczby z kolei powtarzających się znaków w równaniu. Wiadomo także, że oznaczywszy przez a,    ę, d......pier

wiastki równania, pomiędzy niemi a spółczynnikami następujące związki zachodzą: a Ą- b + c -}- d j-----——A, ab -f- at -j- ad -}- bc -f bd Ą- cd ____— B_y

abc -f- abd -f- acd-{- bod-)-.....— — C, i t. d. i abcd.....— ^ Q; to jest, że summa

pierwiasrków ruwnania każdego jest równa spółczynnikowi przy wyrazie drugim równania, wziętemu ze znakiem przeciwnym; summa różnych iloczynów z pierwiastków branych po dwa, jest iówna spółczynnikowi przy wyrazie trzecim, summa różnych iloczynów z pierwiastków branych po trzy, jest równa spółczynnikowi przy wyrazie czwartym równania wziętemu ze znakiem przeciwnym, i t. d. i nakoniec iloczyn ze wszystkich pierwiastków równania, jest równy wyrazowi ostatmemu wziętemu z tym samym lub przeciwnym znakiem, stosownie do tego, czyli równanie jest stopnia parzystego lub nieparzystego, Pomimo jednak pięknych tycn odkryć, do których doliczyć jeszcze należy twierdzenie Sturaća, rozwiązanie ogólne równań przedstawia trudności, których nie-zdołali pokonać: Euler, Waring, Vandermonde, Bezout l Lagiange. Jednakże prace tych genijalnych matematyków nie pozostały bezowocne Równania niektórych postaci mogą być rozwiązane albo uproszczone. Tutaj należą tak zwane równania wzajemne, w których spółczynniki wyrazów' skrajnych i równo--oddalonych od skrajnycu, są sobie równe; jeżeli pierwiastkiem takiego równa

nia jest a, to będzie nim także

W rzeczy samej niech będzie równanie:

Axⁱ -f- Bx³ -f- Cx² -j- Bx -j- A~=o, jeżeli w mm za x podstawimy —, będzie

- t X

A    B    C    B

- +—g-f-—~|-A—O, albo zniósłszy mianowniki, otrzymamy równanie

CC ~    CC    CC    00    fi

A -f- Bx -f- Cx² -j- Bx³ -f- Ax⁴ =-^o takie jak dane, ktorego wyrazy wypisane są w przeciwnym porządku, a więc jeżeli pierwiastkiem danego równania jest «, pierwiastkiem równania otrzymanego, a tern samem i jednoznaczącego z min

danego będzie

W równaniu AX⁴ -f- bdx³ -f- Cx² -i- Bx -j- A = o podzie-

B A

li wszy wszystkie wyrazy przez óC², będzie Ax² -f- Bx -f C -}-    ę— o, czyli

H’■    ^x

A (x²    ^ f- B    ^ Ą- C — o, oznaczywszy x -f — =-= z, będzie

1 1

X² Ą-2    — z³,' zkąd x² 4-~r=z²— 2, podstawiwszy te wartości w ostat-

* tZ/    ^ ^c    1 x^z    '

n e równanie, otrzymujemy: A (z²—-2) J-Bz-^ &=o, czyli Az² Ą- Bz-\-C—2A~o, które jest równaniem s^łopnia 2-go, łatwem do rozwiązania i dającem dwa pier-

21*