0138

139

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

(b)

(c)

a^a— 1    /0\

lim-=lna —),

«->o a    \0)

(1+ar-l

hm-=fi

a-o a

Mamy

log_B(l+a)

= lo_g<1(l +a)^1/a;

ponieważ wyrażenie po prawej stronie pod znakiem logarytmu dąży do e, gdy a->0 [54, (13)], a więc (na podstawie ciągłości funkcji logarytmicznej) jego logarytm dąży do log„ e, cbdo.

Zauważmy szczególny przypadek udowodnionego wzoru, gdy chodzi o logarytm naturalny (a=e):    l„₍i₊«)

lim-= 1.

Prostota tego wyniku leży w istocie u podstawy zalet logarytmów naturalnych. Przechodząc do wzoru (b) przyjmijmy o* — 1 =/?; wówczas przy oc-*0 (na podstawie ciągłości funkcji wykładniczej) mamy także 0-+O.

Mamy dalej a = log_B(l + fi) i za pomocą udowodnionego już wyniku otrzymujemy, ie^;    - ■    p

a’-1 lim-= lim

1

o a _/)-₀log_o(l+jS) log_ae

=lna, cbdo.

Jeżeli w szczególności przyjmiemy a = 1/n (n= 1,2, 3, •••), to otrzymamy interesujący ^WZ<^^r    lim n(Xja — l) = lna    (oo-0).

71    + 00

Wreszcie, dla dowodu wzoru (c) przyjmijmy (l+a)" — 1=/?. Przy a-»0 (ze względu na ciągłość funkcji potęgowej) mamy /?->0; logarytmując równość (l+ac)^l>=l+fi otrzymujemy, że

H ln(l +a) = ln(l +j8).

Za pomocą tego związku przekształcamy dane nam wyrażenie tak:

(1+«)*'-!_/?_    0 ln(l +«)

a a ln(l+^)^ a

Z już udowodnionej równości wynika, że oba ilorazy

oraz

P

In (1 + 0)

ln(l+a)

dążą do jedności, i cały iloczyn ma granicę n, cbdo.

Granicę rozważaną w ustępie 56, 3), otrzymujemy stąd jako przypadek szczególny, dla n=r.