0151

153

§ 1. Długość krzywej

Długość całej krzywej jest równa całce eliptycznej zupełnej

_S.4_fa+ME(^-).

Natomiast dla kardioidy, która jest szczególnym przypadkiem rozpatrywanej krzywej (a — b), wzory znacznie się upraszczają. W tym przypadku mamy bowiem

r¹+r'_t² = 4a¹ cos² -j,

a więc (dla 0<8<«)

»

S ■* 2 aj cos-|- dO = 4a sin j .

Jeśli z bieguna O (rys. 11) promieniem 2a zatoczymy luk aż do przecięcia się z przedłużeniem odcinka OAf, to cięciwa AL jest oczywiście równa co do długości łukowi s = ^AM.

Długość całej kardioidy wynosi 8a.

10) Lemniskata: r¹ = 2u²cos 26.

Obliczymy długość łuku lemniskaty łączącego jej wierzchołek, odpowiadający wartości 6 — 0, z dowolnym jej punktem, odpowiadającym wartości 6< ji.

Mamy tu

rr'_t — — 2o²sin 28, skąd r'_t

2a²sin 28 r

Wobec tego

,'M=

cos 26

a ze wzoru (Sb) otrzymujemy

de

dO

)/cos 28

/l — 2sin²8

jest to znowu całka eliptyczna (pierwszego rodzaju). Ponieważ tablice takich całek są obliczone w przypadku, kiedy współczynnik k² przy sin²6 jest mniejszy od 1, dokonamy jeszcze zamiany zmiennej. Przyjmijmy 2 sin²8 = sin²? (ponieważ 8<-j-w, więc 2 sin²8< 1 i tak kąt ? można rzeczywiście określić); wtedy

sin 6 = —sin ? , cos 6 d6 = —— cos <p d? ,

}/T    yT

7--—r”^yrfr    )^l—2 sin² 8 = cos?,

** j/l- jsin²?

ostatecznie