0490

492

XIII. Całki niewłaściwe

lecz /nc+/<(n+l)7t, więc

fsin/4/--

J mt+t (n+l)« J    («+1)tc

O    O

a tymczasem szereg    jest rozbieżny! [365,1)].

478. Przykłady

1) Zbadać zbieżność całek:

(a) f ^{arc tg}^ dx, (b) f    - ^dz------- (r₀ > a > b > 0),

^J0 ^x    }/z (z—a) (z—b)

■

o    o

Rozwiązanie, (a) Funkcja podcałkowa jest dla x -*■ + oo nieskqńczenie małą rzędu pierwszego — całka jest zbieżna.

3

(b)    Funkcja podcałkowa jest dla x -*■ oo nieskończenie małą rzędu -j — całka jest zbieżna.

(c)    Gdy x -*■ O, funkcja podcałkowa dąży do 0. Po rozwinięciu w szereg zauważamy, że wyrażenie

_c-.^ł/x^ł _c-bhxⁱ _ b²-g²    _|

x²

jest dla x + oo nieskończenie małą rzędu drugiego — całka jest zbieżna.

(d) Rozwijając e*^x w szereg, łatwo otrzymujemy

*    1    x² .

e^x-e-^x    2 *    12 ⁺

a więc gdy x -»■ 0, wyrażenie podcałkowe dąży do —jy . Dla x -*■ oo będzie ono nieskończenie małą rzędu drugiego. Całka jest zbieżna.

2) To samo. dla całek:

cc    eo    co

(a)    f x>‘e-Vx (fi, a > 0),    (b) f -^xdx..,- ,    (c) f -)^{n A}' dx.

i    i ]/^-i    ^Jt xVx²-i

Rozwiązanie, (a) Biorąc dowolne A>1, mamy

—-- ---► 0;

Ux^x «"

całka jest zbieżna.

(b)    Zauważmy najpierw, że gdy x -*■ 0, funkcja podcałkowa dąży do 0. Biorąc teraz znowu dowolne A>], otrzymujemy

=    ¹    -->-0, dla Jc-^+oo.

■tfe^2x—l x^x Ve^2xx~^(lX+2,—x~ ^t3L*²'

Całka jest zbieżna.