064

WSLEDKY ULOH

1 Zavedeni a zakladnf vlastnosti komplexnfch ćisel

1.1 Pro żadne p. 1.2

3 + y/2 y/Z-yfl 7 + y/l9 y/E

1.3 H

99    45

7    1    -30    3    ^{1 9} 17’ ⁸‘

1.5 Ano. 1.6 Pro p > 4.    1.7 Ano. 1.8 Ano. 1.12 Pro kompa

ni ćfsla a + bi, c + <żi je a) realny jejich soucet pro b= —d, jejich soućin pro ad -1- bc = 0; b) imaginarnf jejich soucet pro b 9^ — d, jejich soucin pro ad + be 9^ 0; c) ryzę imaginarnf jejich soucet pro b 9Ć —d a zaroven a = —c, jejich soucin pro ad -f bc 9^ 0 a zaroven ac = bd. 1.13 a) —i; b) —i; c) —1 4- i; d) 14. 1.14 a) 6 + 4i; b) -17 - 7i; c) -3 + 4i; d) 5 + 2i\/6. 1.15 a) o = -1, 6 = 3; b) a=V2, b=%/3.    1.16 a) - fi; b) 2-^i;

1.17 Pro komplexnf ćfsla a + 6i, c + di 9^ 0 je podfl

i; d) -2. ćfslo a) realne

o.i:> i i i ‘t

130 ^T 130

c H- di

pro ad = bc; b) imaginarnf pro ad ^ bc a zaroveń ac ^ — bd; c) ryzę imaginar nf pro ad ^ bc a zaroven ac-\-bd = 0.    1.18 a) 6 + \/6 + i (l -f 2y/2 — 3\/3)

b)    —1 — i; c) -2 + 2i^3; d) u - 2.    1.19 a) a; = | -|- | i; b) x

, l + i(3 + V2)    ..    3-8V2-i(6v/2 + 4)

c)    x — -—-; d) x = -.

'    4 + 2^2    9

29 , 11 26 26 ^1?

1.21 a) ^y/WO:

b)    Zy/2; c) |v^/5; d) 4\/T3.    1.23 a) x = | — 2i; b) x\ =0, X2 = i, x$ = —i;

c) x = 10 — 40i; d) x = 1.    1.24 a) a = ±^y/2; b) a = 0; c) a =

d) a = ±|\/3.    1.25    (a* + 3yi)(rc — 3yi), (2x + i)(2x — i), (\/5 H- j/i\/2) •

• (y/5-yi\/2), (1 + iy)(l - iy).

Ulohy k opakovanf

1.26 a) Realna ćast: y/3 — t:, —y/Ź, 0; imaginarnf ćast: 0, v^3, — it, \/3 — 7t; absolutni hodnota: Tl — \/3, n/k² + 3, \/3 + k², n — \/3; b) realna ćast: 0, 0, —1, — imaginarnf ćast: —1, 1, —1, —    absolutni hodnota:

1, 1, y/2, \\/2; c) realna ćast: 1 (l — y/2), 0, — \/2, imaginarnf ćast: 0, |(v^/2-l)_ł    -^\/2; absolutni hodnota: 1(^-1), |(\/2-l), ^\/3,

l-\/3.    1.27 a) l_r U R 9^ C. ostatni piat.f; b) R n I ^ l_r, ostatni piatf; c) I'

ostatni platf. 1.28 a) |2 — i| > |1 + i| > |i¹⁸| > 1.29 a) \/2 — 1, -iVZ, -5, i°; b)    1 + i,

1

TT\'

b) nelze usporadat.

2 — i — y/3, 2 — (1 — >/3) i;

c) —\z\_y 3 4 y/zz, -

4 U

1.30

\/3 — i (2 4- i)^:

1 -i

3 — 4i

’ sTi

+ i sin    1.31 a_{y 5}

b) f - |i; c) 1; d) 1 + y/S. 1.32 a) z = § - £i;

b) x | -H 24 i.    1.33 a) t/=i(2 — 2i), v=|; b) u = l+i, v = 1 — i.

1.34 a) Pro p = 1 4 2i nema reśeni, pro p 1 4 2 i jedine reśeni x

3 — 5i

b) pro p = —3 — i nema Feśeni, pro p ^ —3 — i jedine reśeni x

1 - p 4 2i

p(l+i)(2-i)

3 4 i -+■ p

1.35 z\ — 6 + 8i, Z2=6+17i.    1.36 Prave vśechny komplexni jednotky.

1.37 Preve<fte ziomek na algebraicky tvar. 1.39 a) Neexistuji; b) z= |i. 1.40 Navod: \z\ 4 Z2|² = (z\ 4- Z2)(zl 4 ^2), \z\ - z₂1² = (zi - Z2)(źT - ^2)-

2 Geometricke znazorneni komplexnich ćisel

2.1 a) Mezikruzf bez vnejśi hranice se stredem v pocatku a s polomery 1, y/2\

b)    mezikruźi bez vnitrni hranice se stfedem v pocatku a s polomery %/5, VT3;

c)    vnejśi oblast kruźnice (vćetne hranice) se stredem v pocatku a s polomdrem

\y/2\ d) vnitrek kruhu se stredem v pocatku a s polomerem \y/2.    2.2 a) Po-

lorovina s vnitrnim bodem —1, jejiź hranici je osa uscCky s koncovymi body — 1, —i; b) vnitrek poloroviny s vnitrnim bodem 1(1 — i), jejiź hranici je osa usecky s konc.ovymi body 0, ^(1 — i); c) vnitrek poloroviny s vnitrmm bodem 1, jejiź hranici je osa usecky s koncovymi body 1, — 1(1 4 i); d) polorovina s vnitr-nim bodem —2 — i, jejiź hranici je osa usecky s koncovymi body 2 4 i, -2 — i.

2.3    a) Polorovina, jejiź hranici je rovnobeźka s realnou osou prochazejici bodem li, do niź patri bod — 2i a z niź je vypustena oblast, ktera je sjednocenim vnitrnich oblasti jednotkovych kruźnic se stredy v bodech 0 a 1; b) jediny bod 2i.

2.4    a) 2 > \z 4-1 - i| > 1; b) \z 4-1 — i| < \z — 1 — i|. 2.5 a) Ynitrek poloroviny

s vnitrnim bodem —i, jejiź hranici je osa usećky s koncovymi body 1, —i; b) pru-seciky jednot.kove kruźnice se stredem v bodę 1 -I- i s osou usecky s koncovymi body 1, i. 2.6 \/2 (cos 4 i sin |ti), |\/2(cosx 4 isinrc), 5y/2 (cos |rc 4- i sin |x), 6 (cos I71 4 i sin I71), \/3 (cos |r. 4- i sin |ti), k (costi 4 i sin it), 71 (cos Iti -|- i sin I71), cos -I- i sin 171.    2.7    y/2 (cos -|- isin |n)_t ^ (cos |n -f i sin |x),

■y/2 (cos 171 4 i sin |Ti), \/l3 (cos 0 4 i sin 0), cos 4 i sin Iji, cos0 4 isin 0, 2 (cos |n 4 isin |x), nelze vyjadrit. 2.8 a) \/2 4iV^; b) — c) | 4 ^i\/3;

d)    2.9 a) 2cos In (cos I71 4 isin |ti); b) 2cos l<p (cos l<p 4 isin l<p);

c) cos (|ti - <p) 4 isin (|ti — <p).    2.10 12 — 16i.    2.11    a) cos -yTi 4 isin yii;

b) cos ^ii 4 isin^Tt; c) | (cos |ti 4 i sin |n); d) cos |it 4 isiii|:i.

127