0047

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierąjących pierwiastki

49

3) Całki

w /

dx

x y^,<xx²+fi

, (b) f--4*------. (c) f-

^J x² yxx²+p    ^J (XX¹

dx

(xx²+P)³¹²

sprowadzają się przez proste podstawienie x = -y-, dx = —jt^i do znanych już całek. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że a>0 i t>0. Otrzymujemy

(a)

/■

dx

- f- ^dt- -

jc j/ajc²+P    ^ ]/x+flt²

Dalsze obliczenia wykonujemy według wzoru (6) lub (7) w zależności od znaku /3.

(b)

f-&-- - f . L*    +C.

•’ *²l/a:r² + /?    j/* + /?/²    0    0*

jc² /ax² + /?

Analogicznie _(C) f-dx_

J (XX²+P)³¹

T-/

r</r

^{1    2} + C=- *■ +C.

(<x + /?/²)³'² y? j/af/Sr²    0    /,x.r²+£

4) Przekształcenia tożsamościowe wyrażenia podcałkowego sprowadzają następujące całki do całek już obliczonych:

(a) f *^2dx ■ ,    (b) f &^x2±P. dx, (c) f

^J |/xx²+P    J x    J

(tSX² + fi)³¹²

dx.

Mamy:

dx \/xx² + p

(a)    f -*>L. ₌ _L f S^+fl-0. _Jx = l-f f^TFdx- Ł f —^

)/«jc² + P    ^a    ^a*² + /ł    ^a ^    ^ j/ocj:²

lub na mocy wzoru (8)

f -~-^X    = -}-x^xx² + B --L f-—*£- itd. [patrz 1)],

' yoFT/T ²«    2« J ^²+/i

_(b)    [Ź°l*²+P _dx = f—-jx = x[ ^xdx +a f——.

^J x    J _X]/xx²-\-P    ^J y^fxx¹+p ^J x\fxx²+p

pierwsza całka może być obliczona od razu, druga była obliczona w 3); wreszcie

(0

/■

- dx

-if

Oi J

dx

Ł

f—¹

J (xx²

dx

(xX² + P)³¹²    X j f/xx^x + p    * ■' (XX²+ P)³¹²

[patrz 1) i 3)].

5) Jeśli pod pierwiastkiem znajduje się pełny trójmian kwadratowy ax²+bx+c, wygodnie jest sprowadzić go przez podstawienie liniowe do dwumianu. Wydzielamy w tym celu pełny kwadrat

ax²+bx+c = -i-[(2ajc+ó)²+4ae—ó²]

Aa

i przyjmujemy t = 2ax-\-b. W ten sposób na przykład otrzymamy ze wzorów (6) i (7) dla «>0 4 Rachunek różniczkowy