0053

55

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

otrzymamy układ n+1 równań liniowych, z których wyznaczymy n współczynników wielomianu Q (x) i stałą X (*).

Uwaga. Wzór (9) wydziela część algebraiczną całki

I

dx .

P(x)

Jr

Podobnego wydzielenia części algebraicznej można by dokonać także dla całki w ogólnej postaci

f

dx ,

R(x)

]fy

gdzie R jest dowolną funkcją wymierną. Nie będziemy się jednak na tym zatrzymywali. II. Całka

Jdx (x—a)*

dx

(x-afi/Y

sprowadza się przez podstawienie x—a = Ijt do rozpatrzonego wyżej typu. Rzeczywiście, mamy

,    dt    ,    (aaL² + ba. + c)t²+(2aa. + b)t + a

dx = —ax² + bx + c = -——₂ ---

a więc (uważając na przykład, że x > a i t > 0) otrzymujemy

fir-

dx    r    t^k-^xdt

(x —a)* j/ax² + i)x + c

]/(aa² + óa+ c) t² +(2ax+ b) t+a

Jeżeli aa²+ba+c = 0, tzn. jeżeli a jest pierwiastkiem trójmianu Y, to rzecz się upraszcza — otrzymujemy całkę typu rozpatrzonego w ustępie 278.

III. (a) Przechodząc do ostatniej całki rozpatrzymy osobno przypadek, gdy trójmian ax²+bx+c różni się od trójmianu x²+px+q tylko czynnikiem a. Wówczas szukana całka ma postać

:dx

r Mx+N J (ax² + bx+cy^2m+iV2'

Można ją łatwo przedstawić jako sumę dwóch całek

M r_2ax + b_ ,    / Mb\ r_dx_

2o J (ax²+bx+c)^{i2m+iy2 X}    2a J J (ax² + bx+c)^i2m+t>n ’

z których pierwszą można obliczyć od razu za pomocą podstawienia t = ax² +bx+c.

C¹) Z udowodnionego wynika, że układ ten będzie rozwiązalny dla dowolnych wartości wyrazów wolnych, wówczas zaś wyznacznik układu musi być różny od zera i układ jest zawsze określony. Tym samym udowodniona została też jednoznaczność przedstawienia (9). (Por. str. 32 i 35).