0055

57

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

W szczególności dla m = 1 otrzymujemy na przykład

r__    2    2 ax+b

J (ax² + bx+c)³¹² ~ 4ac-b² \/ax² + bx+c '

(b) W przypadku ogólnym, aby otrzymać wyrażenie bardziej symetryczne, przyjmijmy

ax² + bx+c = a(x²+p'x+q'),

przy czym będziemy mogli teraz założyć, że trójmian w nawiasach nie jest identyczny ztrójmianem x^z+px+q. Postawimy sobie za zadanie tak przekształcić zmienną *, aby w obu trójmianach jednocześnie znikły składniki stopnia pierwszego.

Niech najpierw p p’. Wtedy możemy osiągnąć cel za pomocą podstawienia ułam-kowo-liniowego

(13)

x

pt + v t+1

wybieraiac odpowiednio współczynniki /i i v. Będzie

x²+px + q =

_ (p² + pp+q)t²-\-[2pv+p(p + v)+2q'] t+(v² + pv + q)

(t + 1)²

analogicznie dla drugiego trójmianu. Szukane współczynniki wyznaczamy z warunków 2pv+p(ji+v)+2q = 0 ,    2pv+p'(p+v)+2q' = 0

lub

p+v= -2

q-q

pv =

p'q-pq'

P-P    P~P

Tak więc p i v są pierwiastkami równania kwadratowego

(P-p')z² + 2(q-q’)z + (p'q-pq') = 0.

Na to by pierwiastki te były rzeczywiste i różne (‘) potrzeba i wystarcza, by spełniony był warunek

(q-q')²-(p-p')(p'q~pq') > 0.

Przekonamy się, że warunek ten jest spełniony.

Przepiszmy warunek (14) w postaci równoważnej

(14*)    [2(q + q')-pp’Y > (4q-p²)(4q'~p’²) .

Wiadomo, że 4q— p² > 0, gdyż trójmian x²+px+q ma pierwiastki urojone; dlatego nierówność (14*) jest na pewno spełniona, jeśli jednocześnie jest 4q'—p'² < 0. Pozostaje więc

t¹) Dla n = y podstawienie traci sens, sprowadza się bowiem do x = p.