0057

59

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

oprócz tego, jak łatwo obliczyć, jest

t²+x = (P-^aX)^ul+te²

a (a — u²)

Dlatego

r_^dt    r_(^g-“²>^w-¹__du

J {t²+X)^m\/*t²+p J [(/3-aA)u²+Aa²]^m

i szukana całka sprowadza się do całki z funkcji wymiernej.

Uwaga. Oprócz tego, że w ustępie tym podaliśmy wiele nowych sposobów obliczania całek typu (4), przeprowadzone rozumowania stanowią nowy dowód twierdzenia sformułowanego na końcu ustępu 281, niezależny od poprzedniego.

285. Przykłady

jc³—1

Przyjmujemy

f jc³—jr-t-1 J y'x*+2x+2

-dx.

’ dx

{ax² + bx+ć)]/x² + 2x+2 +</ f —-—

J 1/ v*2

dx

yx²+2x+2

skąd

jc³—JC+1 = (2ax+b)(x²+2x+2)+(ax²+bx+c)(x+l)+d. Z układu równań

3a = 1,    5a+2b = 0,    4a+3ó+c = — 1, 2b+c+d — 1

otrzymujemy następujące wartości współczynników: a = -i, b = — y, c = -j, d — y. Jeśli więc u-

względnimy przykład 5) z 283, otrzymamy ostatecznie

f *³~*⁺¹— dx = 4-(2x²—5jf+l) ]/x²+2x+2 + | ln (x+l+ l^t^+S+T) +C. }/x²+2x+2    ^6    2

2) f-«£-

' Ge—l)³ je³—2jc — 1

Podstawienie*—1 = 1/f {jeśli, powiedzmy, * > 1 i / > 0) sprowadza całkę do postaci

_ f *²dt * ]/l-2t² ’

Całkę tę łatwo obliczyć środkami elementarnymi [patrz. 283, 4)].

Odpowiedź:

— / j/l—2/²--?—arcsin / \f2 +C =--—— l/*²—2*—1--^—arc sin-^² +C.

4 '    4|/f    4(jc—l)²    ₄ ^2    *-l

3) f-dx-

^; J (2x²-x+2y²

Podstawienie Abela

4*—1

2\/2x²-x+2