1009

1. ELEMENTY PRZESTRZENI I ICH RELACJE

W przestrzeni euklidesowej oznaczono podstawowe elementy geometryczne: punkty, proste i płaszczyzny. Określono ich wzajemne relacje, realizując rysunkowo w rzucie równoległym ukośnym (aksonometria) jako odwzorowanie o charakterze poglądowym i miarowym.

1.1. Podstawowe elementy przestrzeni

W przestrzeni euklidesowej (trójwymiarowej) wyodrębniono 3 elementy podstawowe, które przyjmiemy jako pierwotne, pomijając ich definicje. Są to:

punkty

proste

płaszczyzny

°A °B

°C

oznaczone wielkimi literami alfabetu łacińskiego

oznaczone małymi literami alfabetu łacińskiego

oznaczone małymi literami alfabetu greckiego

Rys. 1

Określmy następujące relacje między dwoma dowolnie wybranymi elementami podstawowymi:

•    przynależności (incydencja),

•    równoległości,

•    prostopadłości.

Poświęćmy więcej uwagi relacji przynależności, zakładając znajomość dwóch pozostałych. Dwa elementy podstawowe, np. punkt i prosta, są w relacji przynależności (incydcncji), jeżeli punkt leży na prostej lub prosta przechodzi przez punkt. Relacja nic uprzywilejowuje zatem żadnego z elementów. Jeżeli punkt i prostą będziemy uważać za zbiory punktów (punkt - zbiór jcdnoclcmcntowy, prosta - pewien uporządkowany zbiór punktów), to przynależność można określić jako iloczyn dwóch zbiorów. Jeżeli elementy są nicprzynalcżnc (nieincy-dentne), iloczyn dwóch zbiorów jest zbiorem pustym, np. A n a = 0.

Prześledźmy relację przynależności dla wszystkich par elementów podstawowych:

-    jednoimienne:    1. dwa punkty A i B,

2.    dwie proste a i b,

3.    dwie płaszczyzny a i /?,

-    różnoimienne 4. punkti prosta a,

5.    punkt A i płaszczyzna a,

6.    prosta a i płaszczyzna a.

Lp.	Pary elementów podstawowych	Przynależność	Nieprzy należność
1	Dwa punkty A i B	A-B\ubAnB = A	A*B\ubAr\B = 0 (zbiór pusty)
2	Dwie proste a i b	a = b\ub a nb** a lub a n b - b	a *b lub ar\b^m0 (tj. a || b lub a i b proste skośne)
3	Dwie płaszczyzny	a = P lub a n P - «, Iuban/3-k (a i p przecinają się)	a*p lubanp-0 (tj. a i P równoległe)
4	Punkt A i prosta a	A g a\wb A r\a = A	A e a lub A na = 0
5	Punkt A i płaszczyzna a	Ag a lub Ana = A	Ag a lub A r\ a =0
6	Prosta a i płaszczyzna a	a c a lub a n a = a, lub a n a = P (prosta przebija płaszczyznę)	aG alubana=0

19