Ebook3

I 00 llozd Hit liactiunrk caUcowii

Całki typu J R(x, Vax² + bx + c), gdzie a / 0 i b² — 4ac    0, możim

sprowadzić do całek wymiernych, stosując jedno z podstawień Eulera.

Podstawienia Eulera

1. Gdy a > 0, to podstawiamy \/ax² + bx + c = t ± y/ax.

2. Gdy c > 0, to podstawiamy \/ax² + bx + c = xt ± y/c.

3.    Gdy b² — 4ac > 0, to podstawiamy \/ax² + bx + c = t{x — x\), gdzie ./1 jest jednym z pierwiastków trójmianu ax² + bx + c.

Ponieważ podstawienia Eulera prowadzą często do złożonych rachunków, więc stosujemy je przeważnie wtedy, gdy nie można zastosować inny li metod.

PRZYKŁAD 14. Obliczyć całkę / _{/ 2} ^dx

V t4It Io X

ROZWIĄZANIE.

Zastosujemy pierwsze podstawienie Eulera

\/x² + 4x -f 13 x² + 4x + 13

x +1

x² 4- 2tx -f t².

Stąd mamy

x(4 - 21)

x

t² - 13 t² - 13 4-21‘

Dalej otrzymujemy

dx

dx

2t{4 - 2t) + 2{t² - 13) (4 - 21)² 2(—ł² + 4t — 13)

dt

(4 - 21)²

dt.

Po dokonaniu podstawień w całce mamy

/

dx

\Jx'² + 4x + 13 — x

-t² + 4t- 13    1 f

t( 4 - 21)²    ~2j

-t² + 4t-13

t(2 - t)²

dt

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste. Mamy

-t² + At - 13 _ A B    C

t{2 — t)²    “ 1 ⁺ 2 - t ⁺ (2 - t)²'

Wykorzystując metody przedstawione w rozdziale 5.3, otrzymujemy A =    , B = -\,C = -|. Zatem

/

dx

\Jx² -f 4x + 13 — x

1    r / 13    9

2    J V ~ 4(2-0 " i^taW + JlnP-

⁹ j ₌

2(2-t)V

^_ 2(2 - i))

+ c.

Po wstawieniu t = \fx² -H 4x + 13 — x do uzyskanego wyniku mamy dx    13

/

9

y/x² + 4x + 13 — x

8

ln |\/a:² + 4x + 13 — x| +

+ - ln |2 — \/^² + 4x + 13 + x| -

4(2 — yjx² + 4x + 13 + x)

+ C.

Definicja 5.3. Całkami stowarzyszonymi nazywamy takie całki, dla których obliczanie jednej wiąże się z obliczaniem drugiej.

PRZYKŁAD 15. Obliczyć całki stowarzyszone

h = J \/x*Tidx,

ROZWIĄZANIE.

Obliczamy całkę I\. Mamy

I\ — f \J x² + 1 dx = [ ^X. dx =

J    i Vx² + 1

/x²dx [dx_ f dx

\Jx² 4- 1 J \Jx² + 1 J \/x² + 1

Na podstawie wzoru (5.13) otrzymujemy

Jl = /₂ + ln |x + a/x² + 1|.