Struik 106

postupu zobecńovśm ve 20. stoleti je vznik i vyvoj nove discipliny tzv. funkcionalni analyzy, ktera, schematicky rećeno, studuje funkci nezavisle promenne veliciny jako promennou velićinu; studiem systemu takto pojimanyeh funkci se dospiva k teorii, ktera zobecńuje pójmy i metody analyzy, geometrie i algebry a vytvaff novy nastrój pro zvladnuti i ruznych fyzikalnich problemu. Ovśem soubeżne se zobecńovanim zkoumaneho predmetu było nutno zpresńovat i metody dukazu, definice zavadenych pojmu i celou matematickou logiku. Zvlaśte zretelne se to projevilo jiż mnohem dfive ve vyvoji analyzy. Zatimco v 18. stoleti si było możno overovat spravnost zaveru infi-nitesimalniho poctu v podstate primo na zkusenosti, ukazuje se jiż na zacatku 19. stoleti, że tento postup ne-muże postacit. Prve potiże se sice projevovaly v tom, że se v nekterych, z 18. stoleti pochazejicich definicich (napr. nekonećne małe veliciny) uchovavaly podstatne rozpory; avśak neslo jen o odstraneni techto rozporu. Mnohem zavażnejsi były rozpory mezi nazornym chapanim nekterych pojmu a jejich skutećnou matematickou podstatou. Kromę jiż uvedeneho prikladu tzv. Bolzanovy funkce, kterd je sice spojita, ale nema derivaci v żadnem bodę, sehraly v logickem upresneni zakladnich pojmd duleżitou ulohu nekonećne rady. Presnd kriteria konvergence sice podali kromę rady dalśich zejmena Bolzano a Cauchy, avsak dlouho zustśvaly skryty jine vlastnosti nekoneć-nych rad, spojene treba s jejich derivovanim ći integro-vśnim. Neślo zde vsak jen o zpresńovani znamych pojmu; otviraly se i cele nove oblasti, ktere było nutno podrobił presnemu zkoumani. Pri prekonavani logickych obtiżi analyzy vyrostla potreba vybudovat teorii reślnych ćisel, o kterou se ve staroveku pokousel Eudoxos a kterou na zacatku druhe poloviny 19. stoleti soućasne z ruznych hledisek vybudovalo nekolik matematiku.

Proces logicke revize vystavby matematiky vedl v nekterych oblastech k zpresneni dosavadniho axiómatickeho systemu (v geometrii se zasloużil o prohloubeni eukli-dovske axiómatiky hlavne Hilbert), jinde pak ke snaham o jeho vybudovani. Aćkoli se dely pokusy o zaxiómatizo-vśni zejmena aritmetiky a algebry jiż drive, leżelo teżiste tohoto procesu aż ve 20. stoleti. Tehdy byl take vypra-covSn axiómaticky system, napr. i v teorii pravdepodob-nosti (Kolmogorov).

V souvislosti s prohlubovanim logickych naroku na matematicke teorie vyvstal i problem prezkouśeni a zpres-neni vlastni logiky matematicke prśce. Tento ukoi, ktery se projevil v rade odvetvi matematiky, vytvoril z logickych otazek do te doby zpracovavanych samostatnou disciplinu — matematickou logiku. Vznikala sice puvodne jako jiste pokracovani Descartovych a Leibnizovych snah o obecnou vedeckou metodu, popr. snah o algoritmovani logickeho pochodu (a v tom to smyslu se ozyvaji vetsinou nezasve-cene hlasy dodnes). Proti tomu se zacalo v dile Schro-derove, RusseIlove a Hilbert§ve prosazovat zkoumani logicke struktury matematickych usudku.

7. Celkove zamereni matematiky k ąbstrakci se netyka-lo jenom novych vznikajicich disciplin, probihalo stejne i v jednotlivych tradicnich oborech. Charakteristicky priklad nam skyta algebra. Do poloviny minuleho stoleti se stale jeste zabyva prevażne resenim algebraickych rovnic. Ve druhe polovine 19. stoleti zacina nabyvat prevahy v algebraickych pracich studium vlastnosti algebraickych operaci a otazky jimi urcovanych typu algebraickych struktur. Reseni rovnic je pak jen dusled-kem obecnejsich vysledku. Algebra se take rozpada na ruzne discipliny — teorie algeber, toerie grup apod. — a tento proces neni ukoncen dodnes. Na druhe strane pak do-chazi k prolinani nekterych algebraickych disciplin s ji-nymi odvetvimi matematiky, napr. s geometrii, a dochazi se k poznani, że siroka problematika obou disciplin je resena vlastne ekvivalentne ruznymi metodami, a tak se zacina uskuteęnovat na nove urovni spojeni obou oboru.

Vidime, że snaha po zpresneni jednotlivych disciplin rozruśuje tyto jeste v 18. stoleti relativne kompaktni zakladni obory na radu specialnich odvetvi, mnohdy vza-jemne podrizenych stupnem abstrakce, obecnosti użitych operaci ci metod apod. Tato odvetvi jsou velmi de-tailne zkoumana se vśemi pożadavky na logickou dusled-nost. V matematice tak narustś rada specialnich disciplin. Vedle sedmi hlavnich oboru matematiky (zakłady matematiky, algebra, teorie cisel, matematicka analyza, to-

219