MATEMATYKA005

o I Wiadomości wstęjme

przy czym poprzednik Z nazywamy założeniem, a następnik T - tezą tego twierdzenia. Utwórzmy implikacje;

(b) T=>Z,    (c) ~Z=>^T,    (d) ~ T =>~- Z

Implikację (b) naz>wamy twierdzeniem odwrotnym do (a), implikację (c) -twierdzeniem przeciwnym do (a), implikację (d) - twierdzeniem przeciwstawnym do (a). Twierdzenie (a) w tym zestawieniu jest Nazywane twierdzeniem prostym.

Twierdzenia (a) i (d) są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. Natomiast z prawdziwości danego twierdzenia nic można wnioskować o prawdziwości lub nieprawdziwości twierdzenia odwrotnego

Twierdzenie Z r^> T można sformułować następująco:

Z je.il warunkiem wystarczającym T.

lub inaczej:

T jest warunkiem koniecznym Z.

Jeżeli prawdziwe jest twierdzenie Z => T oraz odwrotne do mego T r-> Z, to oba te twierdzenia można zapisać w postaci równoważności ZoTi sformułować jak następuje:

Z jest warunkiem koniecznym i wystarczającym T

lub

T jest wxirunkiem koniecznym i wystarczającym Z.

W skrypcie będziemy używać kW'antyf katorów: dużego kwantyfikatora /\ (czytamy: dla każdego x) oraz małego

kwantyfikatora V (czytamy: istnieje takie x, że...)

X

Przypomniana tu, w największym skrócie, symbolika logiki matematycznej ułatwiać nam będzie precyzyjny i przejrzysty zapis wielu definicji i twierdzeń Czytelników mających braki w tym zakresie odsyłamy do skryptu naszego autorstwa '‘Matematyka Repetytorium", gdzie temat ten jest potraktowany trochę szerzej i zilustrowany przykładami

DZIAŁANIA NA ZBIORACH Poniżej przypomniamy określenia. a na rysunku 1.1 podajemy interpretację geometryczną, sumy, iloczynu i różnicy zbiorów A i B:

der

AuB = {x: xeA v xgB|,

def

AnB = {x: x gA a xeB),

dcf

A\B = {x: xeA a x eB}.

Niech K oznacza dowolny zbiór wskaźników i niech każdemu k eK odpowiada zbiór A_k. Sumę wszystkich zbiorów A_k, którą oznaczać będziemy symbolem    A_k oraz iloczyn zbiorów A_k,

k eK, oznaczany symbolem p|_krK A_k, definiujemy jak następuje:

PRZYKŁAD 1.1

a) Niech A_k = {l,2,...,k}, kcN. Tak więc,

Aj = {!}, A₂ = {1,2}, A_s = {1,2,3} itd.

Sumą wszystkich zbiorów A_k,k eN, jest zbiór liczb naturalnych, a iloczynem tych zbiorów jest zbiór A, = {1},czyi i

ljA_t=N,    n^Av ⁼ e>.

kcN    kcN

b) Niech A,={xeR: x<t), teR Wówczas

1Ja,={x€R: -oc < x < +oo} - R. p|A_t=0.    ■