MATEMATYKA135

260 V. Całka oznaczona

Prawa strona ostatniej równości jest funkcją różniczko walną na przedziale <a,b> i jej pochodna wynosi (<t>(x)-fl>(a))' = <l>'(x)-Osf(x). Zatem lewa strona jest również funkcją różniczkowalną na przedziale <a,b> i F'(x)=f(x) dla x«a,b>,

Twierdzenie 2.4 formułuje się również następująco. Jeśli f jest

x

funkcją elegią na przedziale < a, b >. to funkcja F(x) = Jf(t)dt Jest jedną

a

z funkcji pierwotnych fiwkcji podcałkowej f.

Zauważmy jeszcze, że fbnkcja F jako funkcja róźniczkowalna jest funkcją ciągłą na przedziale <a,b>. Wykazuje się, że dla zapewnienia ciągłości funkcji F wystarczy założyć całkowalność funkcji podcałkowej f na przedziale <a,b>.

P R Z Y K L A D 2.5 Istotą twierdzenia 2.4 jest możliwość obli-czcnia pochodnej F'(x) bez wyznaczania całki F(x) = Jf(t)dt. Na

X

przykład: a) F(x) = Je ¹ dt => F'(\)=c ^K dla xeR.

c

b) F(x) = J^pdt = - j--"-dt =* F'(x)=x e R - {0},

X    1

, ,

c)    G(x) cle’ dt dla x€R,. Nie możemy tu obliczyć pochod-

i

ncj G'(x) bezpośrednio na podstawie twierdzenia 2.4. Zauważmy jednak, że G(x) można traktować jako funkcję złożoną:

u

G(x) = F(4\). gdzie F(u)=je ' dl

I

Stąd F'(u)=c"^u*. Zatem

G’(x)=(F(^))' = P(^)^- = e

WARTOŚĆ ŚREDNIA FUNKCJI, Niech r będzie funkcją całkowalną na przedziale <a,b>, a y niech oznacza laką liczbę, że funkcja siała y = y spełnia warunek b    b

(2.5)    Jydx=Jf(x)dx, y=con$t

a    a

Stąd

b

(2.5)    y=^jr(x)dx.

a

Liczbę y daną ostatnią równością nazywa się wartością średnią funkcji f na przedziale <a,b >.

Mając na uwadze równość (2.5) i interpretację geometryczną całki oznaczonej widzimy, że. w interpretacji geometrycznej, (rys 2.5), wartość średnia funkcji f na przedziale <a,b >, całkowalnej i nicujemnej na tym przedziale, to taka liczba y, że pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego liniami y = 0, y = f(x), x = a, X = b jest równe polu prostokąta o długościach boków y i b - a.

PRZYKŁAD 2.6

a) Wartość średnia funkcji f(x)= l/x^: na prz/sdziale < l/2,2>, (rys 2.6), wynosi: