Inżynieria finansowa Tarcz5

Wycena pochodnych instrumentów finansowych 165

zmieniającej się zgodnie z modelem dwumianowym. Są one również prawdziwe dla opcji sprzedaży. Nieco trudniejsza jest sprawa wykorzystania drzew dwumianowych dla opcji amerykańskich. Dla tych opcji obowiązuje zasada sprawdzania we wszystkich węzłach drzewa dwumianowego, czy przedterminowe wykonanie opcji jest rozwiązaniem optymalnym. Dla węzłów końcowych nie ma żadnej różnicy między opcją europejską i opcją amerykańską. Dla węzłów wcześniejszych należy porównywać ze sobą dwie wielkości. Jedna to wartość opcji wyznaczona zgodnie ze wzorem (10.10), druga to dochód jaki można osiągnąć wcześniej wykonując opcję. Oczywiście wartością opcji jest większa z tych dwóch liczb.

10.3.2. Model dwumianowy w praktyce

Praktyczne wykorzystanie modelu dwumianowego do wyceny opcji wymaga założenia, że zmiany cen akcji składają się z dużej liczby niewielkich zmian dwumianowych. Najważniejszym problemem jest odpowiedź na pytanie, o ile mogą zmienić się ceny akcji przy zmianie węzła. Wielkość tę określa parametr zwany chwiejnością akcji (volatility). Do oszacowania wartości tego parametru wykorzystuje się dane historyczne o kształtowaniu się cen akcji. Najpierw wyznacza się następującą relację:

(10.12)

gdzie Si - cena akcji na i-tej sesji.

W kolejnym kroku oblicza się odchylenie standardowe dla zmiennej Xi, które jest oszacowanym parametrem chwiejności. Obliczenia wykonuje się według wzoru:

(10.13)

gdzie:

n - liczba historycznych cen akcji, x - średnia arytmetyczna wartość wyznaczona z x„ N - liczba sesji w ciągu roku.