74527 Inżynieria finansowa Tarcz3

Wycena pochodnych instrumentów finansowych 163

C - bieżąca cena opcji,

wp- bieżąca wartość portfela składającego się z akcji i opcji na akcje,

r - stopa procentowa wolna od ryzyka,

T- okres ważności opcji (w odniesieniu do roku), u - oblicza się dzieląc S„ przez S (u > 1), d - oblicza się dzieląc S,i przez S (d < 1).

Dla danych z rozpatrywanego przykładu wartości były następujce:

33

30

S„=33, S₍₁=27, S=30, C_u=l, C_d=0, r=0,20, T=0,5, u=l,l

d=0,9

'27

,30

= 0,9

Wartość opcji na podstawie wzoru (10.10) jest równa 0,93:

C = e~°'²⁰-⁵-(p-l + (l-p)-0) = 0,90 -1,03 = 0,93,

g⁰.2⁰.⁵_0,9    0,2051709    ,

p =-=-~ 1,03.

1,1-0,9    0,2

Otrzymane rezultaty potwierdzają prawdziwość wzoru (10.10) ponieważ są analogiczne do tych jakie otrzymano wcześniej.

Idea jednookresowych drzew dwumianowych może być rozszerzona na dowolną liczbę okresów. Korzystając z podanych wzorów wystarczy wyznaczać kolejno wartość opcji w kolejnych punktach węzłowych drzewa. Na rysunku 10.4 zamieszczono przykład cztero-okresowego drzewa dwumianowego. Założenie jakie przyjmuje się przy większej liczbie okresów polega na tym, że w każdym kolejnym okresie cena może wzrosnąć do poziomu u ■ S , lub spaść do poziomu, gdzie S jest ceną akcji z poprzedniego okresu. To samo założenie dotyczy ceny opcji, która może osiągnąć nowy poziom C„ i Q dla kolejnego okresu.

I Na rysunku 10.4 pochylonymi literami od A do J oznaczono kolejne węzły drzewa (jednookresowe, dwuokresowe i czterookresowe). Cena akcji w tych punktach jest równa odpowiednio: A = S-d,

B = S ■ u, C = S - u- d, D = S ■ u², E = S ■ d², F = S ■ u⁴, G = S - w³ • d,

H = S ■ u² ■ d², / = S u-d², J = S ■ d⁴. W przykładzie czterookreso-