Inżynieria finansowa Tarcz7

Wycena pochodnych instrumentów finansowych 167

W przedstawionym drzewie pierwszy moment, w którym jest znana cena akcji (5) określa się jako chwilę zero. W pierwszym okresie At występują dwie możliwości cenowe dla akcji odpowiadające wzrostowi ceny akcji S„ i spadkowi ceny akcji Sj. W drugim okresie, który oznaczamy jako 2- At możliwe są już trzy poziomy cenowe S u²,S orazS-cl². Uogólniając to na i okresów można powiedzieć, że w okresie i ■ At występuje i+1 możliwych do osiągnięcia poziomów cenowych, do których można dojść na 2' sposobów.

Przyjmując powyższe oznaczenia każdy możliwy do osiągnięcia poziom cenowy można obliczyć wykorzystując następujący wzór:

S -u^j d‘~^j, j =    (10.17)

gdzie:

S - cena akcji w momencie zero,

u, cl - parametry wyznaczone według wzorów (10.14) i (10.15),

i - określa poziom drzewa (na przykład w drzewie trzyookreso-wym i zmienia się od 1 do 3),

j - pozycja węzła na i-tym poziomie liczona od dołu od wartości zero.

Korzystając ze wzoru (10.15) można wyrażenie (10.17) zapisać w prostszej postaci:

S-u^2H.

Z rysunku 10.5 można zauważyć, że spadek ceny, który ma miejsce po wzroście prowadzi do tego samego węzła co wzrost ceny poprzedzony spadkiem. W praktyce proces wyceny opcji na podstawie drzewa dwumianowego rozpoczyna się od węzłów końcowych występujących w momencie wygaśnięcia opcji T i przebiega w kierunku do jego początku. Przykładowo europejska opcja kupna ma wartość równą:

max( S_T - X ,0),

sprzedaży:

max( X - S_T ,0),

gdzie:

Sr- cena akcji w chwili T,

X - cena wykonania opcji.

Zakładając obojętność wobec ryzyka wartość opcji w każdym węźle drzewa dwumianowego w momencie T -At jest równa wartości oczekiwanej w chwili T, zdyskontowanej według wolnej od ryzyka