Obraz1 (90)

w zbiorze dzieci danej klasy, a więc i każdą wyróżnioną strukturę opartą na tym zbiorze. W ten sposób zbiór dzieci zostaje „kartezjańsko ustrukturowa-ny”. Można definiować warunki wydzielające z tego zbioru jego podzbiory używając języka arytmetyki. Uczeń prowadzi „gimnastykę kartezjańską” wymieniając jakiś arytmetyczny warunek, na przykład x > y i wzywając kolegów, których współrzędne spełniają ten warunek, do wykonania pewnego ćwiczenia. W ten sposób wyodrębnia się zbiór dzieci określony warunkiem x > y, idąc „od warunku do zbioru”. Nauczyciel wskazuje ręką dzieci siedzące „na jednej z przekątnych”. Dzieci dobierają arytmetyczny warunek x = y. Tu mamy ćwiczenie w kierunku: „dany podzbiór - warunek”. W dalszym ciągu tego rodzaju ćwiczenia będą organizowane w zastosowaniu do układu współrzędnych w płaszczyźnie i zbiorów punktów płaszczyzny. Dzieci jedenastoletnie znają tylko liczby wymierne. Ich płaszczyzna zaopatrzona w układ współrzędnych nie jest jeszcze pełną płaszczyzną ich nauczyciela. Nie porusza jednak on na razie tego delikatnego problemu. Od początku natomiast organizuje ćwiczenia w dwóch kierunkach: figura geometryczna - warunek, warunek - figura geometryczna. Ćwiczeniu „wyznaczyć figurę określoną w danym układzie współrzędnych warunkiem x > 0 i y = -x” towarzyszy bezpośrednio ćwiczenie: Jakim warunkiem w tym układzie określisz dwusieczną trzeciej ćwiartki układu współrzędnych”? Po rozwiązaniu zadania „wyznacz figurę geometryczną określoną warunkiem 3<x<5\2<y< 8”, nauczyciel stawia pytanie: Jak zmienisz te warunki, aby określić figurę powstałą z poprzedniej przez dołączenie do niej jej brzegu?”' Uczeń wykonuje tu znowu czynności dwukierunkowe, od warunków do figury, od figury do warunków.

Rozmaite wariacje na temat tego samego zadania stwarzają naturalne sytuacje sprzyjające analogicznym ćwiczeniom. Mając dane a, b, c i niewiadomą*, dzieci obliczają*, następnie zaś próbują wyznaczyć układ a, b, c, gdy * jest dane. Dzieci są niejednokrotnie zaskoczone tym, że droga odwrotna do tej, którą przebyły poprzednio, nie prowadzi do jednoznacznej odpowiedzi. Ćwiczeniu: „oblicz pole prostokąta, gdy dane są długości 6, 10 jego boków” towarzyszy ćwiczenie: Jakie są długości boków prostokąta, którego pole jest równe 30”? Dzieci po dyskusji otrzymują zbiór par liczb czyniących zadość warunkom zadania. Interpretacja geometryczna tego rozwiązania (rys. 20) w sposób naturalny prowadzi do pierwszego spotkania dzieci z figurą określoną równaniem o dwóch niewiadomych (zbiór punktów zawarty w gałęzi hiperboli).

Dzieci powinny też formułować i rozwiązywać zadania „częściowo odwrotne”. Po rozwiązaniu zadania prowadzącego od danych a, b, c do wyznaczenia x, rozważa się zadania typów: dane a, b, x, obliczyć c; dane a, c, x, obliczyć b itp.

Rys. 20

Może się przy tym jeszcze - podobnie jak poprzednio - zdarzyć, że jeżeli % zostało wyznaczone jednoznacznie z danych a, b, c, to dane x, a, c nie wystarczają do wyznaczenia b.

Zdarzyć się także może, że to jest możliwe, ale uczeń jeszcze nie rozporządza odpowiednią techniką potrzebną do rozwiązania tego zadania. Powstaje wtedy otwarty problem: Jak to rozwiązać”, jako wstęp do nowego tematu nauczania.

Opisane przykłady tylko ilustrują to, co rozumiemy intuicyjnie przez „odwracanie czynności” w bardzo prostych, codziennych szkolnych sytuacjach. Podanie jakiegoś zadowalającego ze względu na ścisłość schematu takiego „odwracania” nie jest możliwe, bowiem sytuacje dydaktyczne na ogół nie są podatne do ujmowania ich w sztywne reguły. Zwróćmy jednak uwagę na to, co jest wspólne w opisanych przykładach. Wszędzie tam występował pewien warunek. Operatywne rozumienie relacji określonej tym warunkiem było istotne dla rozumienia definicji czy twierdzenia. Zgodnie z sugestiami metody czynnościowej należy to rozumienie pogłębiać i utrwalać przez wielokierunkowe ćwiczenia, których składowymi podstawowymi są: 1) sprawdzanie, czy dla danych konkretyzacji zmiennych ten warunek jest spełniony, 2) podawanie przykładów takich konkretyzacji zmiennych, aby warunek był spełniony, 3) gdy są podane konkretyzacje

249