str084 (5)

84 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

84 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

(^z~^zi)³

Zadanie 10.10. Dana jest funkcja F(z) = /Ln

-r określająca potencjał (z-z₂)(z-z₃)²

zespolony płaskiego pola elektrostatycznego. Wyznaczyć sumaryczny ładunek położony wewnątrz krzywej zamkniętej C. Krzywa C obejmuje punkty z, i z₂, natomiast punkt z₃ leży na zewnątrz krzywej, przy czym z_x ^ z₂.

Rozwiązanie. Ładunek położony wewnątrz krzywej C określa następujący wzór:

q = -^Re{jF'(z)dz}. 471 c

Dana funkcja F(z) ma trzy punkty osobliwe z,, z₂ i z₃, z których z, i z₂ leżą wewnątrz krzywej C. Zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego o residuach możemy napisać

q = — Re {2ni £ res F'(z)} = Im { £ ^res F'(^z)} ■

^47t    *=1 z = z_k    k= 1 I=i_k

Pochodna funkcji F(z) wynosi

2 i

, 3i i

F(z) =-----.

z-z_t z-z₂ z — z₃

F'(z) ma trzy bieguny jednokrotne z_t, z₂ i z₃. Obliczamy obecnie residua funkcji F'(z) w punktach z₂ i z₂

res F'(z) = i lim I	—■	-2-——
r=Z| z~*z\	^ z-z2
(	z —z7	z-z2
res F (z) = i hm I	3-- -1	-2--
1-Z2 Z->Z2 \	. ^Z“^Z1	Z-Zy

= 3/

zatem szukany ładunek ą wynosi

q = — \ Im (3/ — /) = — 1.

Zadania do rozwiązania

1. Znaleźć residua funkcji /(z) w punktach osobliwych położonych w skończoności: 1

a) /(z) =

•³ -⁵’

d) /(z) = sin —,

Z

g) /(z) = e

_    1/(1-z)

b) /(z) = tg z, e) /(z) = -^Ł -,

1 -r Z 1 ‘

^{h) /(z)} =

1—e

c) /(z) = ctg- z,

0 /(z) =

i) /(z) = /

(z — 1) (z — 2)² ’ 1

(z² + l)^3.