Obraz0 3

122

Równość tę możemy traktować także jako warunek niezależności zdarzeń A i B. Ponadto każda z równości P(A |B) = P(A) oraz P(B|A) = P(B) stanowi warunek konieczny i wystarczający na to, by zdarzenia A i B były niezależne, przy założeniu P(A) > 0 i P(B) > 0.

5. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczone przy warunku, że zaszło zdarzenie B, nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem B i obliczamy według wzoru:

P(A|B) = ^P(^A0.?1 A, Be Z.    (4.2)

¹ P(B)

Wynika stąd, że prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B wyraża się następująco:

P(AnB) = P(A)P(B|A),	gdy P(A) > 0	(4.3)
P(AnB) = P(B)P(A|B),	gdy P(B) > 0.	(4.4)

lub

6. Jeżeli zdarzenia Aj, A₂,..., A_k tworzą układ zupełny zdarzeń, to znaczy parami się wyłączają i suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden oraz jeżeli P(A,) > 0 dla i = 1, 2, ..., k, to dla dowolnego zdarzenia B prawdopodobieństwo całkowite jest równe:

(4.5)

1=1

Jeżeli ponadto P(B) > 0, to zgodnie z wzorem Bayesa:

P(Aj\B)=-

(4.6)

P(Aj)P(b\Aj)

P(B)

Przykład 4.1

W umie znajduje się 5 kul białych, 3 zielone i 2 czarne. Losujemy 1 kulę. Niech B oznacza zdarzenie losowe polegające na wylosowaniu kuli białej, Z -kuli zielonej, C - kuli czarnej.

a)    Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi P(B) = 5/10, kuli zielonej P(Z) = 3/10, kuli czarnej P(C) = 2/10.

b)    Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do każdego z omawianych zdarzeń losowych jest równe P(B') = 5/10, P(Z') = 7/10, P(C') = 8/10.

c)    Czemu równa się prawdopodobieństwo, że losując jedną kulę trafimy na kulę białą lub zieloną? Ponieważ te zdarzenia losowe wykluczają się wzajemnie, zatem:

P(5uZ) = P(B)+P(Z) = 5/10 + 3/10 = 8/10.

d)    Losujemy dwa razy po jednej kuli. Wylosowaną za pierwszym razem kuli; zwracamy do urny (losowanie niezależne, losowanie ze zwracaniem). Prawdo podobieństwo wylosowania kuli białej w pierwszym (Bi) i drugim ciągnieniu (B₂) jest równe:

P(B_] n B₂) = P(B_X) • P{B₂) = 5/10 • 5/10 = 25/100 = 1/4.

e)    Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w pierwszym lub drugim ciągnieniu (ze zwracaniem) jest równe:

P(5,uB₂) = P(B_X) -h P(B₂)-P(B_] nB₂) = 5/10 + 5/10- 1/4 = 3/4.

f)    Losujemy dwa razy po jednej kuli. Wylosowaną za pierwszym razem kuli, nie zwracamy do urny. Czemu równa się prawdopodobieństwo tego, że wyli im > wana za drugim razem kula będzie biała?

P(B₂) = P(B\) ■ P(B₂1 B_x) + P(B\) • P(B₂1 B\) = 5/10 • 4/9 + 5/10 • 5/9 = 20/90 + 25/90 = 1/2.

Przykład 4.2

Pewne elementy potrzebne do produkcji wyrobów dostarczane są ju ■ trzech dostawców w ilościach: pierwszy dostarcza 30%, drugi 50%, trzeć i ’ii Prawdopodobieństwo trafienia na wadliwy element pochodzący od dosia\\' , pierwszego wynosi 0,1; od drugiego 0,04; od trzeciego 0,05.

Oznaczmy przez^i zdarzenie losowe polegające na wylosowaniu elnin-nm pochodzącego od dostawcy pierwszego, przez A₂ - elementu od dostawią iii-giego, przez A₃ - elementu od dostawcy trzeciego. Zatem P(A_X) = 0,3; P( \ \

= 0,5; P(A₂) = 0,2. Zauważmy, że zdarzenia Aj, A₂, A₃ tworzą układ zupcln\ ■! > rżeń, bowiem P(A.) > 0 dla i = 1, 2, 3; zdarzenia te wykluczają się parami . ■ • P(A_x) + P(A₂) + P(A₃)= 1.

i    Jeżeli przez B oznaczymy zdarzenie losowe polegające na wylosou.i.....

elementu wadliwego, to z treści wynika, że znamy prawdopodobieństwo u.......

kowe: P(44,) = 0,1; P(B\A₂) = 0,04; P(B\A₃) = 0,05.

Prawdopodobieństwo całkowite (bezwarunkowe) trafienia na clemcui i    dliwy oblicza się zgodnie z wzorem:

3

P(B) = J] P( A) • PiB^i) = 0,3 • 0,1 + 0,5 • 0,04 + 0,2 • 0,05

I    i=l

= 0,03 + 0,02 + 0,01 = 0,06.

I

I

I

I !