page0380

372

Równania

wiastki; z drugiego zaś równania x -f- —— z czyli a?³—zx-\-i—0, otrzymamy

CC

drugie dwa pierwiastki. Np. mamy równanie 6a?⁴—35a?³-f-62a?³—35a?-f-6—o, 1    10    5

uczyniwszy x-~- —=z otrzymujemy: 6z²—35z-f-50=:0, zkąd z=— i z —■—,

10 _r 1

3

x

podstawiając zaś — za z w równanie a? -f---~z czyli a?⁸—za?-j-1=0 otrzy-

1    ⁶

mamy a? =3 i a?=—-, podstawiając — za z w toż samo równanie otrzymamy A    A

1    11

x~2 i x=z—, a przeto pierwiastki danego równania są: 3,-—-, 2, W o-A    AA

gólności rozwiązanie każdego równania wzajemnego stopnia 2n można zastąp.ć rozwiązaniem równania stopnia n. Równaniami dwuwyrazowemi albo dwu-miennemi nazywają równania postaci Ax^m-\-B~o, dzieląc obie strony przez A i przeniósłszy wyraz wiadomy na stronę drugą, rówmanie t.c przyjmie postać X^m z=.K\ przypuszczając, ze w jest liczbą nieparzystą a K dodatne nazwijmy m/

\ K— k, w takim razie x^m=^k^m, a uczyniwszy x — kz będzie k^mz^m~k^m,

zkąd k^m(z^m—1) = 0, a więc aby równanie dane rozwiązać, potrzeba rozwiązać równanie z^m—1=0. Pierwsza strona tego równania jest podzielna

_zm — i

przez z — 1, że zaś --—=zz^{m 1}A~z^m 8-f-z^{m 3}-f-.....-f-2:³-f-2^:2-4-^-f-'t-,

z — 1

przeto (z —■ 1) (z ^{m l}-j-z^m~ ² -j- z ^m 3 -f-.....-f-z³-t-z⁹-t-z-ł-l) = 0,

równanie będzie sprawdzone czyniąc z—1—0, zkąd zjcl, a przeto = tudzież zakładając z^m 1 + z^m 2 -f-    ³-j-.....-f“Z³-j-z³-h2:-f-l —

m—1

które to równanie jest wzajemne, a zatem można je zniżyć do stopnia— --.

A

Postępując podług powyższego z równaniem X⁵ = 32, otrzymujemy

^,_t=iV8iMW5_i,₌i 2

X

v/3(Ż^ — 2 (6 + ^3)

Matematycy nie doszedłszy do sposobów ogólnych rozwiązania równań jakichkolwiek stopni wyższych nad czwarty, zwrócili usiłowania ku wyszukiwaniu pierwiastków równań mających spółczynniki liczebne. Postępowanie prowadzące do tego, dzieli się na dwie części oddzielne, w jednej idzie o wyznaczenie pierwiastków wymiernych, w drugiej zaś o wyznaczenie pierwiastków niewymiernych. Wyżej przywiedzione związki między pierwiastkami i współczynnikami równania, służą do wyznaczenia pierwiastków wymiernych całkowitych. Niech będzie równanie X ⁵ -f- ax ⁴ -f^- bx ³ -j- cx ² -f- dx -f- o; ponieważ iloczyn pier-wiastków^r tego równania jest równy f₁ przeto pierwiastków wymiernych należy szukać pomiędzy wszystkiemi dzielnikami f, jeżeli przypuścimy że g jest jednym z tych pierwiastków, w takim razie g ⁵ -f- agⁱ -f- bg ³ Cg² -f- dg

f

^podzielmy obie strony przez g, będzie g ⁴    ag ³    bg ² -f- cg -|- d -|- — -    o,

f

Oznaczywszy— — h, mamy d -j- h — ~~g⁴ — ag ³—bg* — cg, dzieląc obie