25102 prigogine17

Dylkmat Epikcka

mana, ponieważ w ujęciu statystycznym przeszłość i przyszłość pełnią odmienne funkcje. Nie trzeba dodawać, że dla układów stabilnych opis statystyczny sprowadza się do tradycyjnego, powszechnie przyjętego opisu.

Można oczywiście zadać pytanie, dlaczego potrzeba było aż tyle czasu, aby dojść do uogólnienia praw natury, włączającego nieodwracalność i prawdopodobieństwo. Jedna z przyczyn ma z pewnością charakter światopoglądowy — było nią ludzkie dążenie do osiągnięcia niemal boskiego punktu widzenia na naturę. Ale istniał jeszcze problem natury matematycznej. Moje badania opierają się na najnowszych osiągnięciach w dziedzinie analizy funkcjonalnej. W dalszej części książki zobaczymy, że uogólnione sformułowanie dynamiki pociąga za sobą rozszerzenie przestrzeni funkcyjnej. Statystyczne sformułowanie praw fizyki wymaga nowych technik matematycznych, w którym bardzo ważną rolę odgrywają dystrybucje oraz fraktale Mandelbrota²⁷. Jest to kolejny, nowy przykład owocnego dialogu między fizyką a matematyką.

Ale co dzieje się w świecie opisanym przez prawa chaosu z demonem Laplace’a? Dzięki chaosowi deterministycznemu wiemy, że mógłby on przewidywać przyszłość tylko wtedy, gdyby stan świata był mu znany z nieskończoną dokładnością. Dzisiaj możemy posunąć się o wiele dalej, ponieważ istnieje jeszcze silniejsza niestabilność dynamiczna, taka że trajektorie ulegają zniszczeniu bez względu na to, jak dokładny jest opis stanu początkowego. Ten rodzaj niestabilności występuje zarówno w dynamice klasycznej, jak w mechanice kwantowej — dlatego ma on kapitalne znaczenie i zajmuje naczelne miejsce w naszej książce. I w tym przypadku punktem wyjścia są fundamentalne prace, ogłoszone przez Henri Poincarego u schyłku XIX wieku.²⁸ Jak pamiętamy, to Poincare właśnie wprowadził zasadnicze rozróżnienie między układami stabilnymi i niestabilnymi. Dokonał on jednak jeszcze czegoś więcej, a mianowicie wprowadził kluczowe pojęcie „niecałkowalnego układu dynamicznego” i wykazał, że większości układów dynamicznych nie daje się całkować. Na pierwszy rzut oka był to rezultat negatywny przez długi czas uważany za zwykły problem obliczeniowy związany z technikami matematycznymi. Tymczasem, jak zobaczymy jest to warunek sine qua non wszelkiej próby logicznego powiązania języka dynamiki ze światem-w-trakcie-sta-wania-się, w którym żyjemy.

Czym jest układ całkowalny w rozumieniu Poincarego? Każdy układ dynamiczny można określić za pomocą energii kinetycznej, zależnej wyłącznie od prędkości tworzących go ciał, oraz energii potencjalnej, która zależy od wzajemnych oddziaływań między tymi ciałami. Szczególnie prostym przykładem takiego układu jest zbiór cząstek swobodnych, czyli takich, które w ogóle nie oddziałują. Energia potencjalna tutaj nie istnieje i obliczanie trajektorii staje się czymś banalnym. Według Poincarego, taki układ jest z definicji układem całkowalnym. Łatwo daje się dowieść, że każdy całkowalny układ dynamiczny można przedstawić tak, jakby składał się z obiektów nieoddziałujących. Ten rodzaj przekształcenia jest możliwy dzięki formalizmowi Hamiltona, do którego powrócimy w rozdziale 5. Tutaj natomiast ogra-

53