239 (30)

460 Uzupełnienia

Z wykorzystywanymi w teorii grup pojęciami najłatwiej jest zaznajomić się na konkretnym przykładzie. Rozpatrzmy zatem cząsteczkę NH3. Trzy atomy wodoru oznaczymy odpowiednio symbolami II,,, IIj, i II,., a układ współrzędnych wybierzemy w taki sposób, że atomy te będą leżeć w płaszczyźnie xy, w sposób przedstawiony na rysunku U 1.1, natomiast atom azotu leżałby na osi z prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Każda cząsteczka ma co najmniej jedną (banalną) operację symetrii, tj. operację tożsamościową. W wyniku operacji tożsamościowej żaden punkt cząsteczki nie zmienia swego położenia. Operację tożsamościową oznaczamy literą E. Cząsteczka NH3 ma jednak nie tylko element tożsamościowy, lecz także płaszczyzny i osie symetrii. Występują w niej trzy płaszczyzny symetrii, zawierające oś z oraz jeden z atomów H_a, H/, lub H_(; (rys. U 1.1). Oznaczmy je odpowiednio symbolami a_a, u\, i a_c. Na rysunku U 1.1 są one zaznaczone liniami przerywanymi. Pamiętajmy jednak, że płaszczyzny te są określone nie względem atomów, lecz względem nieruchomego układu współrzędnych, na przykład płaszczyzna ab jest płaszczyzną ijz. Cząsteczka NH3 ma ponadto oś obrotu o kąt 120°. Obrotu możemy dokonać także o kąt -120°. Obroty te oznaczamy odpowiednio symbolami Ca i C-J¹. Na rysunku U 1.1 są one zaznaczone strzałkami wskazującymi kierunek obrotu. Dla cząsteczki NH3 można podać również inne elementy symetrii, ale są one równoważne już wprowadzonym, na przykład obrót o kąt 240° jest równoważny obrotowi o kąt -120°. Jeśli zatem nie ma więcej niezależnych elementów, to elementy symetrii E, a_a, ai„ a_c, C3 i ¹ tworzą grupę, do której należy cząsteczka amoniaku.

Rys. Ul.l. Elementy symetrii cząsteczki NH3

Łatwo się przekonać, że złożenie dwóch operacji symetrii (czyli kolejne wykonanie dwóch operacji symetrii) daje w wyniku operację symetrii należącą do tej grupy. Na przykład C^a_n = a_c.

Wynik złożenia dowolnych dwóch operacji symetrii zestawia się w tabe-■ li, nazywanej tablicą mnożenia grupowego (tab. U1.1). W górnym wierszu tej tabeli określona jest pierwsza operacja, a w 1. kolumnie od lewej - druga.

Na przecięciu się odpowiedniej kolumny i wiersza znajdujemy wynik kolejnego wykonania obu operacji. Widzimy, że w odróżnieniu od tabliczki mnożenia nasza tablica nie jest symetryczna względem głównej przekątnej, a z tego wynika, że składanie operacji (wykonywanie operacji symetrii) nie jest przemienne, na przykład C^o_a — <t_c> natomiast a_aC-s — <tj,.

Tabela Ul.l. Tablica mnożenia grupowego dla grupy, do której należy cząsteczka NH₃

Punktowe grupy symetrii wykorzystywane w badaniach cząsteczek chemicznych mogą zawierać następujące operacje symetrii:

1.    Operacja identyczności, której odpowiada element tożsamościowy E, nie zmieniająca położenia żadnego punktu cząsteczki.

2.    Operacja obrotu o kąt 27i/n, której odpowiada oś obrotu o kąt C_n. Oś z największą wartością n w danej grupie nazywamy główną osią symetrii. Wykonanie m-krotne operacji C_n oznaczamy C™. C” = E ponieważ obrót o 27t radianów odpowiada niewykonaniu obrotu. Obrót przeciwny C~^l prowadzi do tego samego efektu co obrót C_n, bowiem C_nC'^Ł_1 — E. W ogólności

tór¹ = ^fc-

3.    Operacja odbicia, której odpowiada płaszczyzna a. Możliwe są trzy specjalne przypadki. Płaszczyznę symetrii prostopadłą do głównej osi symetrii oznaczamy symbolem Of_L- Płaszczyznę symetrii zawierającą główną oś oznaczamy o_v. Jeśli natomiast występują dwukrotne osie prostopadłe do głównej osi oraz występują płaszczyzny symetrii zawierające oś główną i będące dwusiecznymi kątów między dwukrotnymi osiami, to płaszczyzny takie oznaczamy symbolem aa. Przykłady płaszczyzn symetrii podajemy na rys. U 1.2 dla benzenu.

4.    Operacja obrotu o kąt ‘litjn i następujące po niej odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do tej osi, której odpowiada oś niewłaściwa (przemienna) S_n. Zachodzą relacje: S_n = <7hC_n — C_nOh- Wszystkie cząsteczki, które mają oś C_n i muszą mieć oś niewłaściwą S_n wzdłuż osi C_n. Przykład metanu na rysunku U 1.3 ilustruje ten fakt.