241 (8)

9.2.3. Prawdopodobieństwo i jego własności

^pUufl)=

_:l) fięstość zdarzenia

Jeżeli w n powtórzeniach pewnego doświadczenia interesujący nas wynik pojawi się k razy, to liczbę nazywamy częstością występowania tego wyniku.

Jeżeli ze wzrostem liczby powtórzeń doświadczenia częstość ma tendencje do koncentracji w pobliżu pewnej ustalonej liczby, to mówimy, że częstość się stabilizuje.

M Aksjomatyezna definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo P jest funkcją rzeczywistą określaną na zdarzeniach losowych w sposób następujący:

?-.A~P(A), ACH; P(A) e R

i spełniającą następujące warunki (aksjomaty)

(Al) P(A) > 0

(A2) (AnB = 0)-»(/^>(AUfl) = /^>(/l) + /^J(B)) (A3) />(fl)=l

Funkcja Pto prawdopodobieństwo. Liczba P(A) to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Uwaga: Często symbol !P( A) zastępuje się symbolem PA,aP(ADB) symbolem PAB. c) Własności prawdopodobieństwa:

Dla dowolnych A,B ci2 mamy:

(1)    P(Q) = 0 (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego)

(2)    P(A')~ 1 -P(A) (wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego)

(3) (Acfl) JII <P(B))

(i)P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A n B) (wzór na prawdopodobieństwo sumy dowolnych zda-tzeń - niekoniecznie wykluczających się)

(5) (A = fl)~(P(A) = />(£))

(6) P(A) Ś 1

(7)    A, ...A_b- wykluczają się parami

11

(p(A,UA₂U...VA_n) =

= P(A_l) ₊ P{A₂) ₊ ...+P(A_a))

®p(a\b) = P(A ns') | P(A) - P(B) V)P(AUB)<.P(A) + P(B)

H0)/>(A)e(O;l)

łTwaga: Porównując aksjomat (A2) i własność (J| można stwierdzić, że są dwa wzory na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(A) + P(B)    (*)

P{A) + P(B)-P(AnB) (**)

*)dla A, fi wykluczających się, czyli A n B = 0, "'dla A,Bdowolnych

liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia liczba wszystkich możliwych zdarzeń

PA =

Wzór pierwszy jest szczególnym przypadkiem wzoru w wersji drugiej - ogólniejszej. Dla dowolnych trzech zdarzeń: A, B, C zachodzi wzór P(Ali BO C) = P(A) + P(B) + P(C) -- P{ AB) - P( BC11 P( AC) + P( ABC) d) Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (zwana też: Twierdzeniem o prawdopodobieństwie klasycznym)

Definicja aksjomatyczna nie nadaje się do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Praktyczne zastosowanie ma natomiast klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto ona:

Założenia: ii - zbiór skończony (on = 23 zdarzeniach elementarnych)

A co_t- są jednakowo prawdopodobne Ac ii- dowolne zdarzenie

Wówczas: P(A) = ■=, gdzie A - oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, O- oznacza liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych. Inaczej:

P(A) =

Uwaga 1: Klasyczną definicją prawdopodobieństwa możemy posługiwać się tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, czyli mają jednakową szansę zajścia. Warunek ten jest zakładany intuicyjnie, gdyż nie ma rachunkowej możliwości sprawdzenia tego założenia. W tym celu zakłada się, że na przykład kostka czy moneta jest symetryczna, to znaczy nie ma tendencji przewracania się częściej którąś ze stron, tylko każda ze stron jest wyrzucana z taką samą możliwością.

Uwaga 2: Symbol Z to inaczej liczebność zbioru Z (skończonego), zwana mocą zbioru Z.

Uwaga 3: Do wzoru na PA z klasycznej definicji prawdopodobieństwa jest analogiczny wzór na prawdopodobieństwo geometryczne.

Niech ii będzie podzbiorem płaszczyzny, a Ac ii. Pole zbioru ii to S(H), a pole zbioru A toS(A).

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany punkt ze zbioru ii jest punktem zbioru Ac ii wyraża się wzorem:

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

S(A) S( A)-miara zbioru A,

S (ii) S(ii)- miara przestrzeni ii (np. pole)