32 (656)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Tabela 49.

	X=3	X=3,5	X=4	X=4,5	X=5
P(X=x,/Y=3)	1	0	0	0	0
P(X=*/Y=3,5)	0,75	0,25	0	0	0
P(X=Xj/Y=4)	1/ / 3	X	1/ 73	0	0
P(X=xi/Y=4,5)	0	%	6/ /27	5/ /27	^AAi
P(X=x,/Y=5)	0	0	1/ Al	8/ 717

83/ Wpięcioelementowej paczce 2 sztuki są wadliwe. Losujemy bez zwrotu 2 sztuki. Niech zmienna losowa X oznacza liczbą sztuk wadliwych wśród wylosowanych, a zmienna losowa Y przyjmuje wartość 1 gdy pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, O gdy pierwsza wylosowana sztuka nie jest wadliwa. aJ wyznaczyć rozkład zmiennej Z = (X, Y); b/ zbadać czy zmienne losowe Xi Ysą niezależne; c/ obliczyć E(XZY=1) oraz D² (XZY = /). Rozwiązanie:

a/ Aby wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej Z = (X,Y) należy obliczyć kolejne prawdopodobieństwa:

P(X =0 J = 1) = 0; P(X = 1J = 1) = 0,3; P(X = 0. Y = 0) = 0,3;

b/ Aby zbadać czy zmienne losowe X i Y są niezależne należy sprawdzić czy warunek (1.35) jest spełniony:

(1.35)

v

ie 16.1.2}

Pik = P,. * P.i

gdzie p_t%\p,_k to odpowiednio rozkłady brzegowe zmiennych X i Y. Rozkłady brzegowe dla zmiennych Y i X są przedstawione w tabelach 51

i 52.

Tabela 51.

	0	1
P(Y=y;)	0,6	0,4

Tabela 52.

	0	1	2
P(X=Xi)	03	0.6	0,1

P(X = \J = 0) = 0,3; P(X = 2 ,Y = 1) = OJ; P(X = 2J = 0) = 0 Rozkład można zapisać w tabeli. (Tabela 50)

Tabela 50.

YX	0	1	2
1	0	03	0,1
0	03	0.3	0

Ponieważ nie jest spełniony warunek (1.35) dla pn tzn.: p_u * p_u • p_#1 więc zmienne losowe X i Y są zależne.

c/ Aby wyznaczyć E(X/Y=1) tzn. wartość przeciętną zmiennej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjmuje wartość równą 1, skorzystamy ze wzoru ogólnego (1.36):

(1.36) _E(x / Y = ^ )= X x,P(X = x, IY = y_k)= —X x,p_lk

.    P.t .

Potrzebny jest zatem rozkład warunkowy zmiennej X względem Y=1.

p(x = 0/Y = l)= 0; P(X - MY = l) = 0,75; P(X = 2IY = l)= 0,25.

Ostatecznie otrzymujemy:

E(X IY = l)= 0-0 + 1 0,75 + 2 0.25 = %

Wykorzystując podstawową definicję D² X obliczamy:

D²(x / Y = l)= e[(x²/ Y = l)]- [e(X / Y = I)]² =

(00 + 1 -0,75 + 4-0,25)

25

16

_3_

16

84/ Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkłady przedstawione w tabelach 53 i 54. Znaleźć P(X<3, Y>2).

Tabela 53

Xi	M.	3	4
Pi	0.1	0,2	0.7

Tabela 54.

Yi	0	2	3	4
Pi	0,3	0,1	0,2	0,4

P(X<3, Y>2) = P(X = 2, Y = 3)+P(X = 2,Y = 4) = 0,1 0,2+0,1 0,4 = 0,06.

85/ Znaleźć rozkład zmiennej losowej Z = X + Y oraz EZ i D² Z, jeżeli dwuwymiarowa zmienna losowa Z ~(X, Y) ma rozkład podany w tabeli 55.

Tabela 55.

X Y	1	3	5	P.K
1	0,2	0,2	0.2	0,6
*)	0.1	0,1	0,2	0.4
p.	0,3	0,3	0.4

Zmienna losowa Z będzie przyjmować wartości, które są sumami wartości zmiennych losowych X i Y. Z,= {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Prawdopodobieństwa dla kolejnych wartości z, obliczono poniżej:

P(Z = 2)    = P(X = 1 ,Y= 1) = 0,2; '    P(Z = 3) =    P(X    = 1,    Y = 2) = 0,1;

P(Z = 4)    = P(X = 3, Y =1) = 0,2;    P(Z = 5) =    P(X    = 3,    Y = 2) = 0,1;

P(Z = 6)    = P(X =5, Y = 1) = 0,2;    P(Z = 7) =    P(X    = 5,    Y = 2) = 0,2.

-63-