388 2

m

R. Równania różniczkowe

Warunek początkowy: u(x, 0)= 1000—}IOOOjcJ.

Warunek brzegowy: u(-1. r) = i/(l. /)=0 (/>0).

Przyjąć h- 0.4, k~0.04. Wykorzystać symetrię. Całkować do r=0.12.

3. (a) Rozważmy układ liniowy

do

(8.6.29)    = Au

d i

.V-1 równań różniczkowych zwyczajnych. Załóżmy, że A ma Af—1 wartości własnych Xj i tyleż niezależnych liniowo wektorów' własnych r,- (j = 1, 2, .... N-1). Wykazać, że

tf(0)*=£ Zjtj =• nir^^a^ezpU/f).

(b)    Rozważany rósvnanie ciepła duićt — c²U)dx^z z warunkiem brzegowym u(Q, t)s= =u(i, 0=0. Wykorzystać przybliżenie różnicowe centralne dla d²uldx² i przyjąć h = \JK. Udow'odnić_tźe daje to układ z macierzą A o wartościach własnych2,= — 2A'²(l -co${ą//A"j).

Poniższe części (c), (d) i (e) zadania wiążą się z układem określonym w (b).

(c)    Pokazać, że z/|'n|\^l,dt^0, a wobec tego ||»(/)||₂< |«(0)||,.

(d)    Pokazać, żc IJk.+ iK:^]{a_i.]|§. jeśli do rozwiązania układu używa się metody trapezów (świadczy to o stabilności dla dowolnej długości kroku).

(e)    Ile działań trzeba wykonać rozwiązując układ dla a_n. , w każdym kroku metodą trapezów? Porównać to z metodą jawną.

(f)    Uogólnić metodę na dowolne równania postaci duldt = d\p(x)du}dx)!dx. />(*)> 0, «(0)=n(J)=0.

4.    Rozważmy równanie ciepła zc zmianą znaku:

du    d*u

—    -r.    u|0, 0 = «(l. /)=0

ot    dx

(odpowiada to całkowaniu zwykłego równania ciepła w przeciwnym kierunku na osi czasu).

(a)    Jak przenosi się zaburzenie jednostkowe z punktu (0.5, Oj, gdy stosuje się p«^>* bhżcnic różnicowe podobne do rozważonego w § 8.6.2. dla k',h²=\^ry.

(b)    Rozważmy układ (8.6.29) o macierzy A otrzymanej z - <5²f//r?A“ za pomocą prz>' błiźenia różnicowego centralnego. Wykazać, że jeśli JV jest duże i /i = l/.V. to zagadnienie brzegowe jest bardzo źle uwarunkowane.

5.    Rozwiązując numerycznie równanie Laplace’a P²u— 0 na siatce kwadratowy, otrzymano w sześciu punktach siatki wartości liczbowe podane niżej. Aby otrzyj pierwsze przybliżenie na .siatce z dwa razy krótszym bokiem kwadratu potrzebne wartości a. h. c wskazane niżej. Obliczyć je z błędem 0(k*) (błędy danych wartość: P^ornl

się).

101    105    117

a    b c

109

109

J17