345 (21)

10.7. Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy...

345

Po scałkowaniu dostaniemy

1 , |

2^mi<^vb    x_d

m M\

d^7 ⁺ Vj

a

km\

i

m    M

— x    x    d

m M\ d-R T ~RJ

(2)

Punkt xo, do którego ma dolecieć pocisk, wyznaczamy z zależności Pi(xq) = P\(xq), czyli

m\m

{d - x₀)²

= k

m t M

(3)

Po rozwiązaniu tego równania dostaniemy dwa pierwiastki d

RYS. 10.74

m i

^x02 m

M — m d

M — m

(M — V Mm) (M + VMm)

(4)

ponieważ xoi > d, więc pierwiastek ten odrzucamy.

Pocisk ma dolecieć do punktu xq\ i w tym położeniu zatrzymać się, czyli wstawiając do zależności (2) vo = 0, va = * 0, x = xqi, wyznaczamy vo

, (M ^V° = ^k{-R ⁺

M

Ponieważ k = -

g

d — R Xoi d — X0\ gR\d - R)²

(5)

M

M(d - R)² - mR²

R² (d - R)² więc ostatecznie

1g

v₀ = R(d - R)

M m ~R⁺ d-R

M(d - R)² - mR² M,(M - m)

+

m(M — m)

d(M — yj Mm)    d(m — y/Mm).

PRZYKŁAD 10.116

Punkt M o masie m porusza się po wewnętrznej powierzchni walca kołowego o promieniu r. Przyjmujemy, że powierzchnia walca jest doskonale gładka, a oś walca pionowa oraz uwzględniamy wpływ siły ciężkości. Obliczyć nacisk punktu na walec oraz znaleźć równania ruchu punktu. W chwili początkowej punkt znajduje się na osi x i ma prędkość vo skierowaną pod kątem ar do poziomu (rys. 10.75).