346 (20)

10. Dynamika punktu

ROZWIĄZANIE

Równania różniczkowe ruchu punktu w tym przypadku mają postać

mx = R_x,

my = R_y,

mz — mg

0)

Trzecie równanie tego układu możemy łatwo scałkować i po uwzględnieniu warunków początkowych z(0) = 0, ż(0) = = vo sina otrzymamy

i ₂

z = -gt + sina

Dwóch pierwszych równań układu (1) niestety nie możemy scałkować, gdyż zarówno R_x, jak i R_y są nieznane. Podejdziemy więc do zagadnienia inaczej. Wyjdziemy z zasady zachowania energii mechanicznej

(2)

mv^{1 2}0 — «»*(*² + y² + Ż²) — mgz

stąd

x + y = v^£0 cos a+ Vq sin a ■+•

+ 2g (\gt² + vot sin a\ — (gt + Vo sin a)²    (3)

x² + y² = Vq cos² a

(4)

Z równania (4) widzimy, że punkt M\ będący rzutem punktu M na płaszczyznę xy porusza się ze stałą prędkością vo cos a po okręgu o promieniu r. Prędkość kątowa punktu M\ też jest stała i wynosi (o = — ^C0SQf. Równania ruchu punktu Mi przyjmą więc postać

Vo cos a    uo cos a ...

x = r cos-1, y = _r sin —-1    (5)

r    r

Na podstawie równań (1) reakcja powierzchni walca będzie równa

R = Jr2_x + R²y = my/x* + y2 gj ^mvQ ^^os.—    (6)

Równania ruchu punktu M przyjmą postać

Vn cos a

x = r cos-1,

. i)n cos a y = r sm-1

1

2

2

^z — 2*»* + ^vot sina