6 (1419)

= lim

= lim

= lim

n—»oo

Następne twierd: ograniczonością i zbi

Twierdzenie 4.18.

Twierdzenie 4.19.

(Tik)kLi C N taki, ż(

Twierdzenie 4.20.

Ważne w zastos<

= lim -

“■*“ ^(i + i +

8+3    _ _T    .    .    .    .

” -y-²—. Najpierw zastosujemy twierdzenie Z*

4.14 (3). Skoro £ —> 0 (przykład 4.5), to ^ —► 0, 4? —> 0, a następnie 3 ^ —> 0, 2^ —* 0. Wykonując kolejne działania na granicach ciągów -w szczególności stosując twierdzenie 4.14 (1) i (4) - otrzymujemy odpowiedź, że szukana granica wynosi | = 2.

Podobnie (posługując się przykładem 4.5) - zgodnie z twierdzeniem 4.14 (3) - stwierdzamy, że ^ —> 0, gdy n —» oc dla k € N.

Przykład 4.16.

lim (\J n² — 2n — \/n² + 3n^ =

(\/n² — 2n — Vn² + 3n) (\/n² — 2n + \Ai² + 3n)

(>/n² — 2n + \Ai² + 3n)

'² 2n — (n² + 3n)    ..    —5n

n->oo \/n² — 2n + \/n² + 3n n-^oo y/n² — 2n + Vn² + 3n -5    5

^__ ” 2'

Dowód. Niech a_n istnieje Mel taki< Zatem a_n < |a| + 3 Niech k — max{l,[ większą niż M. Jeśli |a_n| ^ Mi dla n €

Zauważmy równ: dem jest ciąg (—l)ⁿ Prawdziwe natomiaj

Mówiąc obrazow to na przykładzie ci. merach parzystych, twierdzenia dotyczą

Twierdzenie 4.21

(M“i, W”, ta

lim a,_n = lim Cn =

n—>oc    n—>oo