ANALIZA 1 SEMESTR3

4jBawB»i«c i 3*feicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: «...    ^: r = s - . . sr. = 1; b) f(x) = 2x — |x|, xo = 0;    c) f(x) = |x — 7r|^{1 2 3 4} sinx, xo= zr;

' x⁵ dla xsC2, \ 2^{6 7} dla x > 2,

e) f(x) =

sin x dla x $

2’

1 dla x >

g) /(*)

io = 2;

V -escjccować wykresy funkcji a), b), d) i e).

'.3 Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: a) f(x) = x⁵ — 3x, gdzie x£l;    b) /(x) =

^Io=2^;

2 1

x arc tg — dla z/0, x

0    dla x = 0,

xo = 0.

x +1

, gdzie x / —1;

^c) /(z) = n/ź, gdzie x > 0;

d) /(x) = tg x, gdzie x ^ — + &7r dla fc 6 Z.

8.4 Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

^a) fi^x) = \^x - z , xo = 1;

tgx dla — — < x $ 0,

,    7T

sinx dla 0 < x < —, Naszkicować wykresy tych funkcji.

c) /(x):

xo = 0;

b) /(x) = sinx • sgn (x), xo = 0; x(x — 1)

d) /(x) =

dla x < 1, x₀ = 1.

>/x — 1 dla x ^ 1,

Lista 9

9.2 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:

, X^5 + 1 ^a)2/= X-1^;	b) y = 3cosx + tgx;
d)y=(x^1 + ^)e^7;	e) y = (1 + -yx) tg (v/x)
g) y = ln (sin^5 x + l);	h) y = ^/arcsin(x^5);
2^sin21 9 ^V ~ 3COS^5 X ^7	tgx j)ł/ = z ;

7

1

9.3 Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć / ⁷ (y₀), jeżeli: a) /(x) = x + ln x, y₀ = e + 1;    b) /(x) = cos x - 3x, y₀ = 1;

c) /(x) = ^x +    + Zfx, y₀ = 3;    d) f(x) = x¹ + 3*, y₀ = 4.

9.4    Obliczyć /', /", /'" funkcji:

a) f(x) — 4x⁸ - 5x¹ + 2x;    b)/(x)=x¹--:    c) /(x) = —;

2

X    X

d) /(x) = arc tg x;    e) /(x) = sin¹ x + cos¹ x;    f) /(x) = x¹ ln x.

3

9.5    Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

4

a)/(x)=arcsin|, (1,/(1));    b) /(x) = ln (x⁵ + e) , (0,/(0));    c)/(x) = e^tgI, (J ,/(£));

5

k) y = %/x.

6

9.1 Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie xo = 0:

a) /(x) = 3 - \/x\    b) f(x) = tg ^/x;

cl /’x) = \/^! sin xj:    d) f(x) = yj|x| + \/jxf.

f) y — e⁷ aictgi;

7

V = e ;

8

d) /(x)=V?TI₎ (3, /(3));    e) /(*) =    (V2,/(v^));    f) /(x) =    (e,/(e)).