Bez nazwy�

166

Spadająca masa m, z wysokości h tuż przed zetknięciem się z belką uzyskuje prędkość

Vj = V2^T    (17.3)

i energię kinetyczną

W metodzie Coxa zakłada się, że w początkowej fazie uderzenia w wyniku bezwładności belki, a szczególnie części belki w pobliżu punktu uderzenia, powstają znaczne siły w strefie kontaktu, które na bardzo malej drodze w porównaniu z ugięciem belki powodują zmniejszenie prędkości spadającej masy z V| do v₂ i nadanie prędkości v₂ końcowi belki. Ponieważ powyższe siły powstają na skutek bezwładności belki, a nie oddziaływań podpory, możemy potraktować układ: spadająca masa-masa belki jako układ odosobniony i na mocy zasady zachowania pędu napisać równanie:

m,v, = (m,+am₂)v₂.    (17.5)

Występuje tu współczynnik a uwzględniający, że poszczególne przekroje belki poruszają się z różną prędkością v(x). Ścisłe z prędkością v₂ poruszają się tylko punkty przekroju w miejscu uderzenia. Współczynnik ar określimy z warunku, by energia kinetyczna masy belki zredukowana do punktu uderzenia a m₂ była równa energii kinetycznej całej belki

1    I '

=-\^vl[x)dm₂ ,    (17.6)

gdzie: dm₂ - p A dx - masa elementu belki o długości dx, p - gęstość belki,

A - pole przekroju poprzecznego belki.

Wyznaczona z równania (17.5) prędkość masy m\ i końca belki na początku ich wspólnego ruchu jest postaci:

v

2

, ^m2 1 +ar —

(17.7)

m.

W tym momencie energia kinetyczna układu bijak-belka

(17.8)

jest mniejsza niż energia kinetyczna £n samego bijaka tuż przed uderzeniem (patrz wzór (17.4)). Oznacza to, że część energii bijaka uległa rozproszeniu w wyniku odkształceń plastycznych, które mogą zachodzić w strefie kontaktu, lub w wyniku szybkiego stłumienia drgań wysokiej częstotliwości, jakie są wzbudzane impulsową silą w początkowym okresie wejścia bijaka w kontakt z belką. W metodzie Coxa nie uwzględnia się jednak zjawisk falowych ani możliwości utraty kontaktu bijaka z belką w tym okresie w wyniku drgań o dużej częstotliwości.

Po wyrównaniu prędkości bijaka i końca belki następuje ich wspólny ruch, w którym kosztem energii kinetycznej układu powiększają się odkształcenia belki i związana z nimi energia odkształcenia sprężystego

(17.9)

gdzie F = ky- siła oddziaływania bijaka na belkę.

Maksymalne dynamiczne ugięcie belki y_d wystąpi, gdy prędkość bijaka spadnie do zera. Zgodnie z zasadą zachowania energii możemy napisać

(17.10)

~^kyl =    ■

Powyższe równanie oznacza, że energia odkształcenia sprężystego w chwili maksymalnego ugięcia równa się sumie energii kinetycznej układu i energii potencjalnej bijaka w chwili tuż po wyrównaniu prędkości. Za poziom odniesienia dla energii potencjalnej przyjęto tu położenie bijaka w chwili maksymalnego ugięcia belki. W równaniu tym nie uwzględniono zmiany energii potencjalnej belki w czasie jej uginania się oraz energii odkształcenia wywołanej ugięciem belki pod ciężarem własnym, ponieważ składniki te znoszą się wzajemnie i nie wpływają na końcową postać równania. Po uwzględnieniu wzorów (17.8) i (17.2) równanie (17.10) przybiera postać:

(17.11)

Większy pierwiastek tego równania kwadratowego ze względu na y_d określa maksymalne ugięcie wywołane bijakiem o masie spadającym z wysokości h i uderzającym z prędkością V| w koniec belki wspornikowej o masie m₂