DSC03942

132 WSTĘP DO TECHNIKI ANTENOWEJ

w antenie osiągnęły maksimum. Linie przebyły w tym czasie od anteny drogę XJĄ. Podczas drugiej ćwiartki okresu linie przebywają dodatkowo odległość A74, a gęstość ładunków na powierzchni anteny maleje. Można wyobrazić sobie to zjawisko jako dostarczenie ładunków o przeciwnym znaku, które pod koniec pierwszej połowy okresu neutralizują ładunki istniejące w antenie. Ładunki o przeciwnym znaku powodują powstanie linii sił pola o przeciwnym zwrocie, które podróżują w czasie drugiej ćwiartki na odległość k/4 od anteny. Ponieważ w momencie zakończenia połowy okresu w antenie nie ma żadnych ładunków, na których zaczynałyby się lub kończyły linie sił pola, muszą one zatem oderwać się od powierzchni przewodnika i uformować zamknięte pętle. Cała sytuacja powtarza się w drugiej połowie okresu.

7.2. Potencjały

Określenie parametrów anteny polega na wyznaczeniu pól, które pochodzą od rozkładu prądów J w antenie. Rozkład ten jest rozwiązaniem pewnego układu równań. Załóżmy jednak, że jest on nam znany, i zajmijmy się określeniem pól E i H. Rozwiązywanie zagadnień poszukiwania pól pochodzących od określonych źródeł jest bardzo skomplikowane, daje się jednak nieco uprościć poprzez wprowadzenie pomocniczych funkcji skalarnych i wektorowych zwanych potencjałami. Potencjały nie są konieczne z fizycznego punktu widzenia. Wprowadza się je tylko w celu ułatwienia obliczeń i nie mają one na ogół bezpośredniej interpretacji fizycznej (oprócz potencjału elektrostatycznego opisującego energię ładunku jednostkowego w danym punkcie pola). Zacznijmy od przypomnienia dwóch pierwszych równań Maxwella:

vxĘ=|§-j©pH r

V xH = jcoeE+J (7.2)

gdzie e = e'+ -—. Ponieważ w równaniach występuje zarówno E, jak i H, więc j©

muszą one być rozwiązywane jednocześnie. Wiemy ponadto, że pole magnetyczne jest bezźródłowe:

V-H = 0 (7.3)

Oznacza to, że wektor H ma tylko rotację (pole solenoidalne). Możemy go zatem zapisać za pomocą innej funkcji wektorowej:

H - Vx A (7.4)

Funkcję A zwiemy magnetycznym potencjałem wektorowym. Zwróćmy uwagę, że V ■ V x Ą s 0 dla każdego A. Jeśli podstawimy (7.4) do (7.1), to otrzymamy

Vx(g+jcopA) = 0 - (7.5),

Wyrażenie w nawiasie jest polem elektrycznym, a ponieważ jego rotacja jest równa 0, mamy do czynienia z polem zachowawczym. Elektryczny potencjał skalamy O definiuje nam równanie

E+jcopA = «rrVO (7.6)

Dla dowolnego O zachodzi V x VO = 0. Całkowite pole elektryczne z (7.6) wynosi E == —jcopA—VO (7,7)

Udało nam się przedstawić pola E i H za pomocą potencjałów. Gdybyśmy znali te potencjały, znane byłyby _.i pola. Spróbujemy teraz znaleźć potencjał skalamy O i potencjał wektorowy A.

Podstawiając (7.4) do (7.2) mamy

V x H = V x V x A = jcoeE+T (7.8)

Korzystając z tożsamości wektorowej VxVxĄ = V(V- A)—^A i podstawiając (7.7) do (7.8) dostajemy

V(V • A) — ^A = jcoe(—jcopA—VO) + J (7.9)

lub w innej postaci

V²A + co²neĄ— V(jcoeO+V • A) M—J (7.10)

Ponieważ możemy określić dowolnie dywergencję A, zrobimy to tak, aby trzeci składnik we wzorze (7.10) był równy 0:

V • A = — jcoeO : 1 i M 1MS 38 fl . (7.11)

Wzór (7.11) jest zwany warunkiem Lorentza. Równanie (7.10) redukuje się do postaci

Dzięki warunkowi Lorentza udało się nam rozdzielić zmienne w równaniach ((7.12) zawiera tylko A). Widzimy, że (7.12) jest wektorowym równaniem falowym. Jest to równanie różniczkowe, które może być rozwiązane ze względu na A, jeśli określimy prąd J. Pole magnetyczne może być wtedy natychmiast określone z (7.4), natomiast pole elektryczne znajdujemy z równania

i . 1 V(V • A) .

E == — jcouAfł--:——r . (7.13)

- jCOE

które można wyprowadzić z (7.7) oraz (7.11). Podobnie można otrzymać skalarne równanie wektorowe

’ ~)-jt 8

Przy wyprowadzaniu (7.14) wykorzystano równanie V • J = —jcop. Po znalezieniu potencjału O pole elektryczne obliczamy z (7.7).

Falowe równanie wektorowe rozbijamy najpierw na trzy równania skalarne poprzez dekompozycję A na składowe w układzie współrzędnych prostokątnych:

V*A = kY^ + ^Ay + Ż^A* (7.15)