DSC07059 (4)

54

mmmmmm

Granico funkcji

Niech Uu> dowolnym ciągiem spełniającym    {».) C 5(4), gmgp = 4

^Wu*y    I %    . i

lim (2r, —t_nJ - ^wn ⁷ = 2*4^,7^'i.^

Kcar^iąlHmy to i twierdzeń o grmifcy iloczynu j granicy różnicy ciągów, b) Mwny pokazać, m

a    *?)]■■

<»-)

Niech (z,) będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek: lim r* = oo Nie zmniej. sając ogólacdd rozważań możemy założyć, że x- ĘM0f$ tó&egp n e N. Wtedy

Hxn

** + 1

lirri

lim 2

mmStCuSĘSt

1 + — Inhiil^łr Zn

—...    ¹ + —

pnpsoo

Kcrzyst*Jatny tu z twierdzeń o granicy sumy oraż granicy ilorazu ciągów, a także ze

mora: A= 0 dla fał < oa oe

c) Manty pchtrf, ho

A    =■ C^**⁰*-* “ °)] •

Unia I-I

Nsech (z.) będzie dowełnym cśągłem spełniającym warunki: x* € 5(x) dla każdego n € N. fan z* = r. Uzasadnimy niżej, że lim sin z, = 0. W dowodzie wykorzystamy wrissod

P^Jsinzl<lr|

prawdziwą <5* laidetp z € S ocaz uamiok

wio - sin 3 = 2sin ~ i cc* prawdziwą dla dowolnych o.0 e R- Mamy

Ośjafax»J = >inz,- «n z] = |2sin    — cos^Znt-*

ShoayWamy tern z twierdzenia o trzech dagaeh. Ciągi ograniczające dąg (;«inx„ł), tj. dąg stały oraz Gz«-*f). mają wspólną granicę 0, więc Ukie

Ihn ,«>nz*| = 0.

Otrzymany warunek podaga za sobą równrdć, którą mieliśmy uzasadnić: d*) Mamy pokazać, he

A [(/™>ife (b™S■

przykłady

55

Niech (x„) będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunki {z*} C 5(2), lim x* = 2. Zauważtny.żc równość Jim^e"" = c³. którą mamy uzasadnić, jest równoważna warunkowi

Unre*""** 1.

Ił-oo

Skoro lim x_N «= 2, to oczywiście lim (x» -2)=0. Nie zmniejszając ogólności rozważań

możemy przyjąć, ic lx» — 2| < 1 dla n € H. Z ostatniej równości oraz wanmkn x* 2 wynika, że ciąg określony wzorem

jest zbieżny do oo. Przyjmując pn = B{y_n) i korzystając z własności funkcji część całkowita otrzymamy

0<|Zn-2|«i-*— .

*» P»

Zauważmy, że ciąg (pn) ma wartości naturalne i jest zbieżny do oo. Z ostatniej nicrówncśd wynika kolejna

1 & < e"""*¹ g|j| = ^

Ponadto, z twierdzenia o granicy poddągu wynika, że

Hm ^=1.

Ponieważ ciągi ograniczające badany ćiag z dołu i % góry mają granicą i, więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

l»«-31

lim c «1.

Rozpatrując teraz dwie możliwości znaku wyrazów ciągu (ż_n — 2) łatwo    że

lim e = L

• Przykład 2.2

Korzystając z definicji Heinego granicy niewłaściwej funkcji uzasadnić podane równości:

a) lim —= = oo; b) lim (1—x³)»—oo.

*—0+    x—•—oo

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy definicję Heinego granicy niewłaściwej funkcji /:

Jim /(i) = A    f\ [(te** = «*)=> Qjn^/(xm) = dj] ,

(••I

(•,lcn«)

gdzie a jest jednym z symboli xo. ^xó • ^xo *    °°* *®ś A jest jednym z symboli -oo, oo.