DSC07156 (4)

240 Odpowiedzi i wskazówki

dołu przez *"-7.*góry przez hi = 2; e) ograniczony z .dołu przez m = 0, z góry przez U = l:f) nieograniczony z dołu. ograniczony z góry przez M = —1; g) ograniczony z dołu pracz m = -, z góry przez hl = -; h) nieograniczony z dołu ani z góry;

•*) ograniczony z dołu przez m = 1. nieograniczony z góry.

f ł-4! a) malejący od no = 3; b) rosnący od no = 1; c) malejący od no = 100; d) rosnący od ne = 10. e) rosnący od no = 25; f) rosnący; g) malejący od no = 3; h) malejący od ne = 2; i) malejący; j) malejący.

f LS i e*) Wskazówka. Wykorzystać nierówność 2 $    < 3 oraz fakt, że E(x) = 2

dla 2 $ z < 3: f*) Wskazówka. Wykorzystać nierówność n! ^ n dla n € N.

[H») 0: b) c) 1; d) 2; e) -i; f) 1; g) 0; h) 1; i) 3; j) |; k) 1; I) 1; m*) 1; n*) 0.

[11]a) 2: b) r; c) 0; d) I: e) |; f) f: g) \\ h) yJĘ;

i) 1;JJ l. k) 4; I) 0: m) 1: n) 1; o*) 2; p*) i.

[l9! Wdazówki: a) ciąg (z_n) jest malejący i ograniczony z dołu np. przez m = 0; b) ciąg (ją) jest malejący i ograniczony z dołu np. przez m = 0; c) ciąg (;„) jest rosnący i ograniczony z góry np. przez U = 1; d) ciąg (ta) jest rosnący i ograniczony z góry np. przez U - 3; e) ciąg (a„) jest rosnący i ograniczony z góry np. przez M — 1, granicą Kgi dągu jest In2'; f) ciąg (6n) jest malejący i ograniczony z dołu np. przez m = 0,

granicą tego dągu jest 0; |) ciąg (&,) jest rosnący i ograniczony z góry np. przez M = h) dag (d») jest malejmy i ograniczony z dołu np. przez m = 0, granicą tego ciągu jest & i) ciąg (e₀j jest malejmy i ograniczony z dołu np. przez m = 0; j*) 1, ciąg (f_n) jest rosnący i ograniczony z góry praez M = l.

fU0|a) «*; b) i; e) Ul d)    e) e^-3; f) |i g) e*; h) 1; i) e; j) e^-3.

[Liiia) oc; b) -oo;c) -co;d) cc; e) -oc; f) oo; g) oo; h) oo; i*) oo. Wskazówka. Wy-

/fl\*

korzystać nierówność n! > f dla n $ 1; j*) oo. Wskazówka. Wykorzystać nierówność

11.12 i a) co; b) -oc; c) 0; d) oc; «) occ f) 0; g) 0; h) 0; i) -oo; j) oo; k) oo; I) oo; m) 0. fU3]a) {-1,1}; b) 5= {o. i, 1}; c) S = {0,oo}; d) 3 = {i,«}; e) 5 = {-1.1}: ^{0 S=} {-*• ■§*|: 8) ⁵ =    h*) s = (0.1); I*) 5 = {-5, -3.3,5},

11-141 a) Imja, = _oc, Emo» = occ, b) Jimó_n = -1, Hm b_n = 1; c) limc™ =

«•—•OO    ri-«QC>    _n—.oO

a 2; tf) lim- 0,    = ocf, a) |óa*« = 1, Rm = 3; f) |imt/n =

»-•*    n-oo    r»-*oo

Bmy« ^ g) liaz, s -1, Bro*n = 1; h) luat/„ = -oc, Iimi/_n = oo; i*) UUL^n ^5:0(11

*7*    w*    «-•(»    n—oo

fan u>a = i; )*) r, »1, Iot t, = 9.

BK    •—£    s-s•»

'Zobacz Przykład g,3 e)

Rozdział 2

**4    v by/3

|Ł3|a) lim₊ r(x) = 0, lim_ r(x) = -jpi

b)    lim x(t) = 5. Wynik ten oznacza, że cząstka wykonując drgania tłumione względem punktu *o = 5 zbliża się do niego, gdy t —* co;

c)    lim xi(o) =    —4, lim xa(a)    = oo,

«-0+    a—0+

lim xj(a) = 0, lim xj(a) = 0.

i—co    a—co

12.41 Wskazówka. Rozważyć ciągi: a) x„ = 3--1 *n = 3 + —; b) x'„ = , 4 — 1.

^ _ ⁿ    n    V_n

= \/4+i; c) x'„ = 2n7r, x" = £ + htt; d) x'„ = *- i x" = *+1; e) x'„ = Bf|S y n    ł    •*    n    Y ‘ Tfc

*" ⁼^^{i +} b ^f) *« = "V, x" =    +2mr) ;g)x'„ = łr + i,x" = x-i;h)x'_n=n,

*'ń = ⁿ + i) *'„ = -^==, x" =    ,    ¹ j) *ń =    *«' =    >0 *'n = 2mr,

2    V* + 2mr    n    n

<Si^+2n,r: ’> ^=⁵ - ^Ti' ^=⁵⁺;rh-

l

2.5 a) 0; b) nie istnieje, bo lim 2*    =0, lim 2*    = oo; c) 2; d) nie istnieje, bo

.....    x—o-    X—0+

*³ -4

x — 4

—= 4; e) 0; f) nie istnieje, bo lim sgn [x (l — x³)] —

— 21    x-,-i^-

E{x)

lim f~ = -4, lim .

«-a- |x - 2|    *—j+ |x — 2|

1, lim₊ sgn [x (l — x³)] = —1; g) —oo; h) nie istnieje, bo lim -= oo

|jp

x~0» X

sin x

x-0+    |*|

lim ilili ₌ 0; i) nie istnieje, bo lim    = —1, lim ~nr ~ li j) 0.

t-o- 1*1

i]a) 2; b) 0; c) i; d) 1; e) i; f) -3; g) 4{ h) 1; i) 2; j) 0; k) 0; I) 1; m) -1.

12.71 Wskazówka. Przyjąć następujące funkcje ograniczające z dołu (d(x)) i z góry (ff(x)) funkcję, której granicę obliczamy: a) d(x) = — j |x³|, g(x) = ^ jx³|; b) d(x) =

»(*) =    ^c)    +    </(*) =    7= ^d) |M = -lancii sl^x) =

2|sin(xir)|; e) d(x) = —>/x, g(x) = s/x\ f) d(x) = IL g(x) = J|i g) d(x) = e*, fl(*) = e*^+l; h) d(x) = IPIJ,₅(x) = ^-±2; i) d(x) = x³ (i-l),tfM £ *^ai j)d(z)=    ‘    _{(x) =} ±.

X    X

Ograniczenia dolne (d(x)) lub górne (g(x)) funkcji mają postać: a) d(x) = x; b) d(x) = c) g(x) = 2ctgx; o) d(x) = a® -1; f) d{x) =    g) d(x) = 2*.

(M|») 0; b) oo,• c) 0; d) t\ e) f) | g) p|lW J) 00! k) 5; I) 20; m) oo; n) e³; o*) |; p*)