DSC07157 (3)

242

Odpowiedzi i wskazówki

12.101 a) Proste z = — 2 i z = 2 są asymptotomi pionowymi obustronnymi funkcji u, prosta y = 1 + 1 jest asymptotą ukośną tej funkcji w —00 i 00; b) Prosta x = — 3 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji v; c) Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji ui w 00 i —co; d) Prosta z = 3 jest asymptotą pionową obustronną funkcji z, prosta y = 0 jest asymptotą poziomą tej funkcji w 00; e) Prosta z = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji /, prosta y = —1 jest asymptotą poziomą tej funkcji w —00, a prosta y = 1 jest jej asymptotą poziomą w 00; f) Prosta z = — 1 jest asymptotą pionową obustronną funkcji g, prosta y = z — 2 jest asymptotą ukośną tej funkcji w —00 oraz w 00; g) Funkcja h nie ma asymptot pionowych. Prosta y = z + — jest asymptotą

ukośną funkcji h w -po, a prosta y = z - - w 00; h) Prosta z = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji p, prosta y = -1 jest asymptotą poziomą tej funkcji w -00, a prosu y = 0 w 00; i) Prosu y = -z +1 jest asymptotą ukośną funkcji q w —00 oraz w 00. Uwaga. Prosta x = -1 nie jest asymptotą pionową tej funkcji (nawet jednostronną); j) ProsU z = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji r, a prosta y = 0 jest jej asymptotą poziomą w —00 oraz 00.

12.111 Przykładowe wykresy funkcji spełniających podane warunki przedstawiono na rysunkach. Liczba w kółku oznacza numer kolejnego warunku, który spełnia funkcja.

Odpowiedzi i wskazówki

Rozdział 3

13.21W odpowiedziach podajemy zbiory, na których rozważane funkcje są ciągłe. łJ7R\Z)U {—1,0,1}; b) (-oo,0) U (O,ir) U (tt,oo); c) R; d) R \ {0}; e).... U (-2, -1) U (-1,0) U (0,2) U (2,3) U (3,4) U ..f) R \ {far : fc 6 Z \ {0}}; g)R\{0};h) R.

{Pjaj a =    6 = 0; b) a = 2, 6 = 1; c) a = O, 6 = -4; d) o = b = v/2; e) a e R\ {0},

6 = 0; f) a= b; g) a =    2,    6 =    —1; h) a = 1, b = —1.

|3.51 a) lim u(x) =    4    =    lim u (z)    / u (1) =    3    -    nieciągłość    pierwszego rodzaju

^u—¹    X—1~    1—1+

typu Juka"; b) lim v(x) = 2 jć lim v(x) = 1 - nieciągłość pierwszego rodzaju typu

x—o-    *—0+

^kok"; c) lim w(x) = 0 lim iu(x) = oo - nieciągłość drugiego; d) lim z(x) = - ji i—o-    x—o+    x—o-    e

lim z(x) = e - nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”; e) lim f(x) = -1 st

x—1-

lim flx) = 1 - nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok"; f) lim g(x) = 0 = *-i+    '    x—o-

lim g(x) jć p(0) =    —    - nieciągłość    pierwszego    rodzaju    typu    Juka”;    g)    lim h(x)    —

" "j/    2    .    *-*0

1 ^ /i(0) = 0 - nieciągłość pierwszego rodzaju typu Juka"; h) lim p(x) nie istnieje -nieciągłość drugiego rodzaju.

3.7 Wskazówka. Zastosować twierdzenie Darboux do odpowiednio dobranej funkcji. Wykorzystać także monotoniczność tej funkcji, g) g = 0.625, dokładne rozwiązanie 0.741552... .

Rozdział 4

14.11 a) nie istnieje; b) t/(0) = 0; c) nie istnieje; d) z ) = 0; e) nie istnieje;

0 g[x) = 0; g) ti(Q) = lim x arc tg - = 0; h) p'( 1) =    nie istnieje, bo

iV(0) = i.

[4.2] Wskazówka. Obliczyć granice: a) u' (xo) —    ¹ +___°    •    *0 j⁴ 1;

x — xo

tgx-tgxo x - X0 ’

b) v (xo) = lim ——gdzie xo > 0; c) tu' (xo) —

gdzie 10 7^ ~ + ku dla k € Z; d) 2' (xo) = lim    _n •    *0 6 R;

"“'i    .-»o    k 1

HRn I    (x³—3*) — (xn—3x₀)    _    Vx v^Xą

e) / (xo) = lim -----, gdzie xo 6 Ri 0    (*°) —    ₂ _ _2o •

a — xq

gdzie aro * 0; g)/i'(x₀) = lim

x—iq X — XQ

, gdzie xq€ S; h)p'(xo)=_ihn

•*0    2 — Xo

.1 .1

I , sin--sin—

*!Ł    x xo

lim -•*o

x —Xo