IIIúla

Pochodna funkc ji f w punkcie określonaj est wzorem

771 fOO-fM

f (x₀) = hm-

x x„

Równanie stycznej do wykresu funkcji y=|(x) w punkcie (xo. f(xo))ma postać y-f(x ₀)= f'(x₀)(x-x₀)

Tangens kąta ostrego o., podktórymprzecinają się wykres funkcjiy,=|(x).y=g(x)j est określony zależnością

f'(.^xo) — dX^xo)

tan a = -—7—-—-—-

1 + / (x₀)g (x₀)

Pochodna funkcji odwrotnej-jeżeli w otoczeniu punktuxo funkcja fjest ciÄ…gÅ‚ai Å›ciÅ›le monotoniczna oraz f (xo)=0_;to pochodna funkcji odwrotnej wyo=f(xo) wyraża siÄ™ wzorem

1

Tm

(r^Å‚(*o))'=

Różniczka - niech funkcja fmapochodnÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… wpunkcie xo- RóżniczkÄ… funkcji fw punkcie xo nazywamy funkcje $ zmiennej Ax=x-xo okreÅ›lona wzorem d/(Ax) = /(x₀)Ax

W obliczeniach przybliż o ny c h st o suj emy wzór /(*o + *x)~f(x₀)Ax

Twierdzenie MMlł

Jeżeli funkcj a f spełnia warunki:

a) j est ciągła na

b) ma pochodną właściwą lub nie właściwą na (ąj>)

c) f(a)=f(b)

to istnieje punkt c G (ąjj), że f (c)=0

Interpretacja geometryczna- na wykresie funkcji ciÄ…gÅ‚ej naprzedziale domkniÄ™tym maj Ä…cej p o chodnÄ… wewnÄ…trz prze dziaÅ‚u i przyj mujÄ…cej j ednakowe warto Å›ci na j ego koÅ„cachistniej e co najmniej j eden punkt, w którym styczna j estpozioma.

Twierdzenie UgJMSO,

Jeżeli funkcj a f spełnia warunki:

a)    j est ciÄ…gÅ‚a na [&$>]

b) ma pochodnÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… lub nie wÅ‚aÅ›ciwÄ… na ($l&) to istnieje punkt c c G (a.b), że f (c) = ^:

Interpretacja geometryczna-na wykresie funkcji ciÄ…gÅ‚ej naprzedziale domkniÄ™tym, maj Ä…cej pochodnÄ… wewnÄ…trz przedziaÅ‚u istniej e co najmniej j edenpunkt. w którym styczna do wykresuj estrównolegÅ‚a do siecznej Å‚Ä…czÄ…cej j ego koÅ„ce.

Minimum i maksimum lokalne (ekstrema lokalne)

Funkcj a f ma wpunkcie xo mirdmumlokalne. j eśli

3Ó > 0 Vx 1* - at₀| < 5 -* f(x) > f(x₀)~ funkcja fma w-punkciexominimum lokalne, jeÅ›li dla każdego x z pewnego sÄ…siedztwa tego punktu zachodzi nierówność f(x)> f(xo)

Funkcj a f ma wpunkcie xo maksimumlokalne. j eśli

3ó > 0 Vx \x — at₀| < 6 -* f(x) < /(*<,)- funkcja fma wpunkcie xcimaksimum lokalnej eÅ›li dla każdego x z pewnego sÄ…siedztwa tego punktuzachodzi nierówność f(x) <f(xo)

I warunek wystarczający istnienie ekstremum Jeśli funkcja spełnia warunki

f(xo)=0

3Ó -- 0 V ^ ^> 0 dla kaźde9° xe(x₀- 6,x₀) lf'(x) < 0 dla każdego xe (x₀,x₀ + ó) To wpunkcie xoma maksimum lokalne.

Jeśli funkcja spełnia warunki

f(xo)=0

3Ó > 0 T ^ ^< ° ^{dla kaźde}9° ^xe(.^xo~ &x.)

I/ (x) > 0 dla każdego x G (x₀,x₀ + 6) To wpunkcie xoma minimum lokalne.

II warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeśli funkcja spełnia warunki

-fM=f CO="-=/^Cr-0CO=o

•f^W(Xo)< o

•    nj est liczbÄ… parzystÄ…, gdzie n>2

to wpunkcie xoma maksimum lokalne.

Jeśli funkcja spełnia warunki

•/(*<,)=/ (*o)=-=/^tn-°(*₀)=o

•f^M(xo)>0

•    nj est liczbÄ… parzystÄ…, gdzie n>2

to wpunkcie xo ma minimum lokalne.