Grobler
4

154

li. Struktura nauki

Skala

interwałowa

temperatura powietrza między godziną 8.00 a 12.00 wzrosła tak samo jak między 6.00 a 8.00. Tego rodzaju zmienna nazywa się zmienną interwałową. Odpowiednia dla niej skala ma postać homomorfizmu f między strukturami <Z, S_J( S₂> a <R, T , T₂>, gdzie Sj jest relacją słabego porządku, jak poprzednio S,¹ natomiast S, jest relacją równoważnościową określoną na zbiorze par elementów zbioru Z. To znaczy S₂ spełnia następujące warunki: ?.^<X'    ^y>‘    ^<x'    u> -> <t, u> S₂ <x, y> oraz

if;

(iii) <x, y > S₂ <t, u>A<t, u>S₂<w, _z> -*• <x,y> S₂<w, z>²⁵. Z kolei jak poprzednioX jest xelacią słabej nierówności (< lub >) określo- -nej na zbiorze liczb rzeczywistych, a T₂ jest relacją jednakowej różnicy określonej na zbiorze par liczb: <a, b> T„ <c, d> <-> b - a - d-c. Wówczas f jako homomorfizm tych struktur, spełnia następujące warunki: (a) dla każdego x, y ze zbioru Z jeżeli *S,y, to f(jc)T/(y), (b) dla każdego.*:,y, t, u ze zbioruZjeżeli <x,y> S₂<t, u>, to <f(x), /lv)> T₂<f(t), f(u)> (czyli f(y) - f(_x) = f[_u)-f(t)). Każda zmienna interwałowa jest zmienną porządkową, bo homomorfizm struktur <Z, S,, S₂> i <R, T,, T₂> jest zarazem homomorfizmem struktur <Z, S,> i <R, Tj>, ale nie na odwrót. Zmienne interwałowe są niezmiennicze ze względu na przekształcenia liniowe, to jest przekształcenia określone wzorem: y = Ax + B. Związek tej postaci zachodzi między różnymi skalami temperatury: Celsjusza, Fahrenheita, Kelvina i innymi.

Między przykładowymi skalami ocen egzaminacyjnych również zachodzą związki liniowe. Mimo to ocena egzaminacyjna nie jest zmienną interwałową, bo możliwe są skale ocen zachowujące (lub odwiacające na przeciwny) porządek, a niezwiązane z innymi skalami ocen związkiem liniowym. Na przykład 1 - ndst, 2 - dst,

3 - dst+, 4 - db, 5 - db+, 6 - bdb. Natomiast skala, która nie byłaby związana ze skalą Celsjusza związkiem liniowym, nie byłaby ^w °gble skalą temperatury w sensie, który nadaje temu pojęciu teoria ciepła.

Są skale jeszcze mocniejsze, które pozwalają na porównania nasilenia jakiejś cechy nie lylko pod względem różnicy, lecz także pod względem ilorazu, to znaczy pozwalają sensownie mówić, ile razy nasilenie danej cechy w jednym obiekcie jest większe niż

Por. definicję relacji równoważnościowej w przyp. 12 (s. 146).

3. Operacjonizm, definicje operacyjne i pojęcie pomiaru

155

Skalo ilorazowa

w innym. Przykładem jest masa. Tego rodzaju zmienne nazywają się ilorazowymi. Ich skale są homomorfizmami struktur <Z, Sj, S₂ S₃> i <R, T,, T₂, T₃>, gdzie S,, S₂, T, i T₂ są takie jak poprzednio, a S₃ jest kolejną relacją równoważnościową określoną na zbiorze T₃, jest relacją proporcjonalności: <a, b>T_z<c, d> *-* - = -. Każda zmienna ilorazowa jest zmienną interwałową, ale nie na odwrót. Zmienne ilorazowe są niezmiennicze ze względu na przekształcenia podobieństwa, to jest przekształcenia określone wzorem: y = Ax. Związek tej postaci zachodzi na przykład między masami mierzonymi w kilogramach, gramach, funtach lub innych jednostkach.

Skala nominalna

Jednak można wyróżnić bardzo proste zmienne, niezmiennicze jedynie ze względu na przekształcenia różnowartościowe: x_l * x₂ -»y, = /{*,) * f(x₂) = y₂. Ich skale są homomorfizmami struktur <Z, S> i <R, T>, gdzie T jest relacją „różne od" (*). Takie zmienne nazywają się nominalnymi albo jakościowymi, ponieważ zamiast reprezentacji liczbowej można z równym pożytkiem użyć jakiejkolwiek innej reprezentacji symbolicznej, Wyróżniając ten rodzaj zmiennych, można operacje polegające na wykrywaniu określonej jakości, na przykład kwasowości za pomocą papierka lakmusowego, potraktować jako szczególny przypadek pomiaru.

Teoretyczne funkcje skal pomiarowych

Przytoczone wyżej elementy teorii pomiaru pozwalają nadawać sens zdaniom teoretycznym na temat wartości liczbowych wielkości mierzalnych bez względu na zakres, w jakim te wartości potrafimy mierzyć na danym etapie wiedzy i rozwoju technicznych środków pomiaru. Na przykład można mówić sensownie, że Ziemia ma jakąś masę, choć nie wiadomo, ile ona wynosi, nawet wtedy gdy jedynym znanym sposobem pomiaru masy jest ważenie na wadze szalkowej. Bez założenia, że masa jest zmienną ilorazową, Newton nie mógłby wynaleźć prawa grawitacji, jako wyjaśnienia między innymi ruchów planet, a następnie testować go za pomocą obserwacji astronomicznych. Dzięki temu założeniu mógł (hipotetycznie) ustalić stosunek masy każdej planety do masy Słońca (ich iloraz), co było niezbędne do postępów jego badań. Do pomiaru zaś samych mas ciał niebieskich nie miał żadnych narzędzi. Niemniej to samo założenie, wzięte razem z prawami fizyki Newtona, posłużyło później do wynalezienia