SKR
CANIE WAA
ÓW OKR
GA
YCH
Skręcanie występuje wówczas, gdy para sił tworząca moment
leży w płaszczyz
nie prostopadłej do osi elementu konstrukcyj-
nego, zwanego wałem. Rysunek pokazuje wał obciążony
dwiema parami sił oraz różne sposoby przedstawiania momen-
tów skręcających ten wał. Na kolejnym rysunku pokazano nie-
jednoznaczne oznaczania kierunków momentów, przyczyniać
się do błędnej interpretacji.
Niejednoznaczne
określanie mo-
mentów
Momenty skręcające wał. Różne metody zaznacza-
nia momentów skręcających.
Równanie równowagi: suma momentów względem osi wału.
Hipoteza płaskich przekrojów: potwierdzona doświadczalnie
hipoteza, zakładająca, że okrągłe przekroje poprzeczne wału
pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół
osi wału o niewielki kąt.
Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie mecha-
nizmu odkształceń wału. W oparciu o tą hipotezę wyprowadzo-
no wzory pozwalające na obliczanie naprężeń stycznych w wale
oraz kąta skręcenia wału.
08 Skręcanie 106
Naprężenia w skręcanym wale:
 dla dowolnego promienia r�
Msr�
t�r� =� ,
J0
 dla promienia r� = r
Msr Ms
t�max =� t�r�=�r =� =� .
J0 W0
J0  biegunowy moment bez-
władności.
Liniowe rozkłady naprężeń
W0  wskaz
nik wytrzymałości
stycznych przy skręcaniu dla wa-
przekroju na skręcanie. łu pełnego i wydrążonego
Definicja wskaz
nika wytrzymałości przekroju na skręcanie:
W0  iloraz biegunowego momentu
J0 J0
W0 =� =� .
bezwładności i odległości skrajnego
1
r d
włókna od środka ciężkości przekroju: 2
p�d3 ć� p�d4 ��
��
 Dla wału pełnego W0 =�
��J0 =� 2Jx =� 32 ��
��.
16
Ł� ł�
p�(�d4 -� d4 )�, W0 =� J0
z w
 Dla wału wydrążonego: J0 =� .
1
32 dz
2
MSL
j� =� [�rad]�,
GJ0
Kąt skręcenia wału o długości L:
MSL 180
o�
�� ł�,
j�o� =�
ę� ś�
�� ��
GJ0 p�
Iloczyn GJ0 nosi nazwę sztywności przekroju na skręcanie
(por. EA przy rozciąganiu).
Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać:
MS
t�max =� Ł� t�dop .
W0
W praktycznych obliczeniach na skręcanie bardzo często jest
wykorzystywany warunek na sztywność:
j� Ł� j�dop .
08 Skręcanie 107
PRZYKA
AD
Wał o średnicy d wykonuje n = 1000 obr/min i przenosi moc N = 60
kW. Korzystając z warunków wytrzymałościowego i sztywnościowego,
wyznaczyć średnicę wału. Przyjąć t�dop = 35 MPa, Q�dop = 2��/m, G = 8.104
MPa.
Warunek wytrzymałościowy:
MS p�d3 MS 16MS
t�max =� Ł� t�dop ��W0 =� ł� ,d ł� 3 .
W0 16 t�dop p�t�dop
Dla wału przenoszącego moc z zależności N = MS��w� można określić
wartość momentu skręcającego
2p�n N obr
N =� MSw� =� MS ��MS =� 9550 [�N �� m]�, [�N]�=� kW, [�n]�=� .
60 n min
W powyższym wzorze liczba 9550 (dokładnie: 9549,3) to przelicznik jed-
nostek, obliczony w przykładzie 1.4. Po wykorzystaniu tego wzoru śred-
nicę wału oblicza się z zależności
16 �� 9550 ��N
N
d ł� 3 =� 36,5 [�cm]�.
3
p�nt�dop nt�dop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału
60
d ł� 36,53 =� 4,39cm.
1000 �� 35
Warunek sztywnościowy:
MS 180 p�d4 MS 180
Q�o� =� Ł� Q�o� �� J0 =� ł� .
dop
GJ0 p� 32 GQ�dop p�
32 ��180 ��MS 32 ��180 ��9550 ��100N N
d ł� ��100 =� =� 153,654 [�cm]�.
4 4
p�2nGQ�o� p�2nGQ�o� nGQ�o�
dop dop dop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału z warunku sztyw-
nościowego
60
4
d ł� 153,65 =� 3,80cm.
1000 �� 8 ��104 �� 2
Dla spełnienia obu warunków należy przyjąć d = 4,39 cm.
Warto zwrócić uwagę, że dla Q�dop = 1 ��/m średnica wału d = 4,52 cm,
natomiast dla Q�dop = 3��/m średnica d = 3,44 cm.
08 Skręcanie 108
PRZYKA
AD
Wał pokazany na rysunku jest skręcany momentami M1 = 250 N��m i M2 = 50 N��m.
Wykonać wykresy: momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kątów obro-
tów poprzecznych przekrojów wału. Przyjąć G = 8��104 MPa.
Lewy koniec wału jest utwierdzony, prawy jest swobodny. Zadanie jest statycznie
wyznaczalne. Równanie równowagi (suma rzutów momentów na oś wału) ma po-
stać:
-� MA +� M2 -� M1 =� 0 �� MA =� M2 -� M1 =� 200N �� m.
Siły wewnętrzne w poszczególnych odcinkach wału wyznacza się, korzystając z
metody myślowych przekrojów. Zasady tworzenia granic przedziału, w którym
można dokonać myślowego przekroju, są takie same jak w układach prętowych, a
więc granicami tymi są punkty przyłożenia obciążenia oraz miejsca zmiany wielkości
przekroju poprzecznego. W rozpatrywanym wale należy uwzględnić dwa myślowe
przekroje.
Przekrój 1 1:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem I I
z warunku równowagi otrzymuje się:
MS1 =� MA =� 200 N �� m.
Przekrój 2 2:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem II II
równanie równowagi ma postać:
MS2 =� MA -� M1 =� 200 -� 250 =� -�50 N��m.
Przekrój 2  2 :
W celu kontroli poprawności obliczeń należy rozpatrzyć
pozostałą część wału:
-� MS2 =� M2 =� 50 N �� m.
08 Skręcanie 109
W powyższych równaniach równowagi przyjęto znak momentu skręcającego we-
dług rys. b. Dla ułatwienia obliczeń we wszystkich myślowych przekrojach korzystnie
jest przyjmować ten sam kierunek siły wewnętrznej. Uskoki na wykresie odpowia-
dają wartościom sił zewnętrznych  biernych (reakcja w utwierdzeniu) i czyn-
nych (momenty obciążające).
Biegunowe momenty bezwładności wynoszą:
4 4 4
p�(�d1z -� d1w)�=� p�(�44 -� 34)�=� 17,18 cm4, J2 =� p�d2 p�34
J1 =� =� =� 7,95 cm4.
32 32 32 32
Wskaz
niki wytrzymałości przekroju na skręcanie:
J1 17,18 �� 2 p�d3 p�33
2
W01 =� =� =� 8,59 cm3, W02 =� =� =� 5,3 cm3.
1
d1z 4 16 16
2
Maksymalne naprężenia styczne na odcinku AB oraz BC wału:
MS1 200 MS2 50
t�AB =� =� =� 23,283 MPa, t�BC =� =� =� 9,434 MPa,
W01 8,59 W02 5,3
przy czym przelicznik jednostek jest tutaj równy 1. Naprężenia styczne na wewnętrz-
nej powierzchni wału na odcinku AB
MS1 d1w 200 3
t�W =� =� =� 17,462 MPa.
AB
J1 2 17,18 2
Kąt skręcenia odcinka AB oraz BC wału
MS1L1180 200 �� 3 180
j�BA =� =� ��100 =� 2,5o�,
GJ1 p� p�
8 ��104 ��17,18
MS2L2 180 -� 50 �� 2 180
j�CB =� =� ��100 =� -�0,9o�.
GJ2 p� p�
8 ��104 �� 7,95
Całkowity kąt skręcenia swobodnego końca wału
j�CA =� j�BA +� j�CB =� 2,5o� -� 0,9o� =� 1,6o�.
Wykres naprężeń stycznych i kątów skręcenia pokazano na rysunku.
PRZYKA
AD
Dla wału przedstawionego na rysunku wykonać wykresy momentów, naprężeń
oraz kątów skręcenia przekrojów poprzecznych. Przyjąć: M1 = 10 kN��m, M2 = 5 kN��m,
L = 1 m, d = 10 cm, G = 8��104 MPa.
Wał w tym przykładzie jest utwierdzony na obu końcach  zadanie jest jednokrot-
nie statycznie niewyznaczalne. Po uwolnieniu wału z więzów równanie równowagi
momentów względem osi wału ma postać:
MA +� MB -� M1 +� M2 =� 0 ��MA +� MB =� M1 -� M2 =� 5kN�� m.
Zadanie zostanie rozwiązane metodą myślowych przekrojów oraz metodą wyko-
rzystującą zasadę superpozycji.
08 Skręcanie 110
Metoda myślowych przekrojów
Zgodnie z regułami określania myślowych przekrojów, w odniesieniu do wału po-
kazanego na rys. a należy rozpatrzyć cztery myślowe przekroje. Dla pierwszego
przekroju od lewej strony wału (rys. b) z równania równowagi otrzymuje się
MS1 =� MA.
Dla kolejnych przekrojów (rys. c, d, e):
MS2 =� MA, MS3 =� MA -� M1, MS4 =� MA -� M1 +� M2.
Równanie równowagi dla brakującego odcinka wału pozwala na sprawdzenie po-
prawności obliczeń (rys. f): MS4 = MB.
Do rozwiązania zadania konieczne jest drugie równanie, określane jako równanie
geometryczne, mówiące, że kąt skręcenia wału w utwierdzeniu jest równy zeru. Dla
utwierdzenia B równanie kąta skręcenia przekroju B względem A ma postać:
j�BA =� 0 �� j�1 +� j�2 +� j�3 +� j�3 =� 0,
MS1L MS2L MS12L MS1L
+� +� +� =� 0.
2GJ1 2GJ2 3GJ3 3GJ3
Po określeniu biegunowych momentów bezwładności:
p�(�d4 -� (�0,8d)�4)�=� 0,5904 p�d4 p�d4 p�(�0,6d)�4 =� 0,1296 p�d4
J1 =� , J2 =� , J3 =�
32 32 32 32 32
oraz po uproszczeniu równania geometrycznego
9,0623MA -� 64,3 =� 0 �� MA =� 7,095 kN�� m.
Z równania statyki określa się drugi moment oporowy: MB = 5  MA =  2,095 kN��m.
Znak    oznacza, że na rys. a przyjęto niewłaściwy kierunek reakcji MB.
08 Skręcanie 111
Zasada superpozycji
Według zasady superpozycji każde obciążenie działające na wał może być rozpa-
trywane oddzielnie, a ich skutki można sumować. Zgodnie z tym oblicza się kąty
skręcenia przekroju B wału wywołane działaniem momentów M1, M2 oraz MB, przy
czym moment oporowy MB jest traktowany tutaj równoważnie z pozostałymi momen-
tami (rys. g, h, i). Równanie geometryczne ma wówczas postać
j�B =� j�B1 +� j�B2 +� j�BB =� 0,
M1L M1L M2L M2L M22L MBL MBL MBL
j�B1 =� -� -� , j�B2 =� +� +� , j�BB =� +� +� ,
2GJ1 2GJ2 2GJ1 2GJ2 3GJ3 2GJ1 2GJ2 GJ3
MB =� 2,095 kN��m.
Moment MA wyznacza się z równania statyki.
Metoda superpozycji jako narzędzie do napisania równania geometrycznego jest
pod względem pracochłonności porównywalna z metodą myślowych przekrojów. W
celu wykonania wykresów należy zastosować metodę przekrojów, pozwalająca wy-
znaczyć MSi. Po obliczeniu Ji oraz Wi można wykonać odpowiednie wykresy.
p�104 p�104
J1 =� 0,5904 =� 579,62cm4, J2 =� =� 981,75 cm4,
32 32
p� 104
J3 =� 0,1296 �� =� 127,235 cm4,
32
J1 p�103
W01 =� =� 115,925 cm3, W02 =� =� 196,35 cm3,
0,5d 16
p�(�0,6 ��10)�3 =� 42,41cm3,
W03 =�
16
7,095 7,095
t�AC =� ��103 =� 61,20 MPa, t�CD =� ��103 =� 36,13 MPa,
115,925 196,35
-� 2,905 2,095
t�DE =� ��103 =� -�68,50 MPa, t�EB =� ��103 =� 49,40 MPa,
42,41 42,41
7,095 �� 0,5 180
j�AC =� ��105 =� 0,438o�,
p�
8 ��104 �� 579,62
7,095 �� 0,5 180
j�CD =� ��105 =� 0,259o�,
p�
8 ��104 ��981,75
-� 2,905 �� 2 ��1 180
j�DE =� ��105 =� -�1,090o�,
p�
3 �� 8 ��104127,235
2,095 ��1 180
j�EB =� ��105 =� 0,393o�.
p�
3 �� 8 ��104 ��127,235
Poprawność obliczeń można sprawdzić za pomocą poniższego równania geome-
trycznego
j�AC +� j�CD +� j�DE +� j�EB =� 0.
Wszystkie wykresy pokazano na rys. a.
08 Skręcanie 112