Funkcje cyklometryczne
November 13, 2009
Potrzebne wiadomości: znajomość definicji i wlasności funkcji cyklome-
trycznych, podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych, wzory na funkcje
trygonometryczne sumy i r żnicy dw ch kat w, wzory redukcyjne.
1. Wyznacz dziedziny podanych funkcji.
1
(a) f(x) = arcsin ,
x
3x-1
(b) f(x) = arccos ,
2
(c) f(x) = arctg(x2 - 2x),
1
(d) f(x) = arctg(x + ),
x
(e) f(x) = arccos(x2 - 2x),
2x-1
(f) f(x) = arcsin .
3x
2. Oblicz dokladne wartości podanych wyrażeń.
" " "
1 3 2 3
(a) arcsin 0, arcsin(-1), arcsin(- ), arcsin , arcsin(- ), arcsin(- ),
2 2 2 2
arcsin 1,
" "
1
"
(b) arctg0, arctg(-1), arctg(- 3), arctg , arctg1, arctg 3,
3
" "
2 2 1
(c) arccos 0, arccos 1, arccos(-1), arccos , arccos(- ), arccos(- ),
2 2 2
"
3
arccos(- ),
2
" "
1
"
(d) arcctg0, arcctg(-1), arcctg(- 3), arcctg , arcctg1, arcctg 3.
3
3. Oblicz.
Ą 5 11 23 27
(a) arcsin(sin ), arcsin(sin Ą), arcsin(sin Ą) , arcsin(sin Ą) , arcsin(sin Ą),
6 6 6 6 6
" " " "
2 3 2 3
(b) sin(arcsin ), sin(arcsin(- ), cos(arcsin ), cos(arcsin(- ), sin(arccos(1 ),
2 2 2 2 2
" "
(c) sin(arctg 3), cos(arctg 3), sin(arctg1), cos(arctg(-1)),
1 3 1 3
(d) tg(arctg( ), arctg(tg( ), sin(arcsin( )), cos(arcsin( )),
5 8 7 7
4. Rozwia ż nier wności.
1
Ą Ą Ą
(a) arcsin x < , arcsin 2x < , arcsin 3x > , 2 arcsin 2x e" Ą, arcsin 3x >
4 4 6
0,
Ą Ą Ą
(b) arccos x < , arccos 2x < , arccos 3x > , 2 arccos 2x e" Ą, arccos 3x >
4 4 6
0,
Ą Ą 2 3
(c) arctgx < , arctgx > , arctg2x < , arctg(x - 1) > , arctg(x +
4 6 3 2
7
2) > - ,
5
Ą Ą 2
(d) arcctgx < , arcctgx > , arcctg2x < , arcctg(x - 1) > 2,
4 6 3
7
arctcg(x + 2) > ,
5
5. Oblicz.
2 3
(a) sin(arcsin + arcsin )
5 5
2 2
(b) sin(arccos - arcsin )
3 3
1 1
(c) cos(arccos + arcsin ), sin(arctg15 + arcctg15),
7 7
1 3
(d) cos(arccos - arccos )
4 4
Odpowiedzi:
1. a) x d" lub" e" 1, b) x " < -1 , 1 >, c) x " R, d) x = 0, e) x "

3
"-1 x
1
< 1 - 2, 1 + 2 >, f) x d" -1 lub x e" .
5
Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą Ą 3 2
2. a) 0, - , - , , - , - , , b) 0, - , - , , , c) , 0, Ą, , Ą, Ą,
2 6 3 4 3 2 4 3 6 3 2 4 4 3
5 Ą 3 5 Ą Ą Ą
Ą, d) , Ą, Ą, , , .
6 2 4 6 3 4 6
" " " " " " "
1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 3 1 2 2
3. a) Ą, Ą, -"Ą, - Ą, Ą, b) , - , , , , c) , , , - ,
6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 2
d) , , , 10.
5 8 7 7
" "
2 1 2 1 1 1 1
4. a) -1 d" x < , - d" x < , < x d" , x = , 0 < x d" ,
2 2 4 6 3 2 3
" " "
2 2 1 1 3 1 1 1
b) < x d" 1, < x d" , - d" x d" , - d" x < 0, - d" x < ,
2 4 2 3 6 2 3 3
1 1 2 3 7
"
c) x < 1, x > , x < tg , x > 1 + tg , x > -2 + tg
2 3 2 5
3
"
1 2 7
d) x > 1, x < 3, x > ctg , x < 1 + ctg2, x < -2 + ctg .
2 3 5
" "
8+3 21 1 3+ 105
5. a) , b) , c) 0, 0, d) .
25 9 16
2