3582320721

7. CAŁKI NIEOZNACZONE 7.1 FUNKCJE PIERWOTNE Del. 7.1.1 (funkcja pierwotna)

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli

F' (x) = f (x) dla każdego x e I.

Uwaga. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną, np. funkcja f(x) = sgnx nie ma funkcji pierwotnej na przedziale (-1,1). Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną, np.

_ 2 e* sin x    t-

funkcje pierwotne funkcji: e *’,—,-, sin x². VI + x~ nie są funkcjami elementarnymi.

x x

Tw. 7.1.2 (podstawowe o funkcjach pierwotnych)

Niech funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy

a)    funkcja G(x) = F(x) +C, gdzie Ce R, jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I,

b)    każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale I można przedstawić w postaci F(x) + D, gdzie De R.

Powyższe twierdzenie mówi o postaci funkcji pierwotnych dla ustalonej funkcji. Funkcje pierwotne mają postać F(x) +C i tylko takie są funkcjami pierwotnymi.

Tw. 7.1.3 (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)

Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

7.2 CAŁKI NIEOZNACZONE

Def. 7.2.1 (całka nieoznaczona)

Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji

{F(x) + C: Ce F}.

Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczmy przez j f(x)dx lub krótko J f .

Uwaga. W dalszej części będziemy opuszczali nawiasy klamrowe w definicji całki nieoznaczonej. Działania na całkach nieoznaczonych oznaczają działania na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Równość całek nieoznaczonych oznacza równość odpowiednich funkcji pierwotnych reprezentujących te całki.

Fakt 7.2.2 (pochodna całki nieoznaczonej)

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy

J f(x)dx = f(x) dla każdego xe I.

Uwaga. Powyższą równość należy rozumieć w ten sposób, że po lewej różniczkujemy dowolną funkcję pierwotną reprezentującą całkę nieoznaczoną.

Fakt 7.2.3 (całka nieoznaczona pochodnej)

Niech funkcja f ma funkcją pierwotną na przedziale I. Wtedy