3582501296

I.    U k ł a d y.. równ ań r ó ż n i ę z k o w y c h

1. Przykładowe układy równań różniczkowych liniowych

Układ równań różniczkowych liniowych		Układ trzech równań różniczkowych liniowych
i	dyi -fa = yi(0 = hit.y1.y2. -.yn) = yź(0 = f2it.y1.y2.....y„) = yńit) = hit.y1.y2.-.yn)	<	dx —    =x’(t)=f(t,x,y,z) dv fo=y'it) = g{t,x.y,z) dz —    = z(t) = h(t,x,y,z)

2. Układ równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

(y[ — ^auyi + ^ai₂y₂ + •■ ■+^ai_ny_n

y'l — ^a2l)^;l + ^a22}^r2 + •*' + 0,_2ny_n

yń = OnUh + a_n2y₂ + o_nny_n Rozwiązywanie:

Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego:

(1)

nu - r	^al2	^ain
^a21	^a22 ~ ^r	a2n
Ojil	^an 2	... onn —

= 0

Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi r, odpowiada układ roz w i ązań szczegó ln ych:

(2)

= Aie^r'^x y₂ = A₂e^r'^x

r,x

y_n = ^A*^ei

Współczynniki A_k wyznaczamy z jednorodnego układu równań liniowych:

(3)

^a21^1 + (^a22 ^- ri)^2 H----+ ^a2nA„ = 0

«»1^1 + ^an2^2 + •••+ (a„„ - n)A„ = 0

Jeżeli wszystkie pierwiastki r,- są różne, to rozwiązaniem jest kombinacja liniowa odpowiadających im rozwiązań szczególnych

Jeżeli r_f jest pierwiastkiem m-krotnym, to odpowiadające mu rozwiązania szczególne maja postać:

(4)

y_L = Ai(x)e^riX y₂ = A₂(x) e^r‘^x

y_n = KM e^TiX

gdzie A_łM są wielomianom i stopnia co najwyżej m - 1

Wyrażenia wstawiamy do układu wyjściowego, a otrzymane równania dzielimy przez e^rt*. Następnie porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach niewiadomej x.

M stałych wybieramy dowolnie.

Jeżeli układ wyjściowy jest symetryczny, to przyjmujemy Ai(x) = cotist.

Gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, możemy sprowadzić rozwiązanie do postaci jawnie rzeczywistej.

UWAGA: Rozwiązując układy równań różniczkowych liniowych można zastosować metodę eliminacji, pozwalającą sprowadzić układ równań do równania różniczkowego liniowego z jedną funkcją niewiadomą.

Rozdział w trakcie realizacji

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

- 205 -

w w w. malenia tyka.s osnowiec.pl