1636660671

4. Spłaty długów i kredytów

Rozpatrujemy tylko spłaty zgodne, to znaczy: okresy stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są równe. Przyjmujemy, że odsetki są obliczane tylko od aktualnej wartości długu i są spłacane ratalnie.

Zasada równoważności długu i rat

Dług o wartości Ko w momencie 0 jest równoważny ciągowi rat Rj płatnych w momentach j = 1,2,... ,N jeżeli kapitały wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne.

Zasada ta mówi, że wszystkie raty umarzają dług (czyli po wpłacie ostatniej raty dług jest spłacony w całości). Fakt spłacenia długu K za pomocą rat R\, R?,..., Rn wyraża się za pomocą równości kapitału zaktualizowanego na moment N sumie wszystkich rat zaktualizowanych na ten sam moment.

j-1

lub, aktualizując na moment 0:

K„ = E^(1+ *)■'■

Przykład. Obliczamy brakującą ratę drugą R₂, zakładając, że znamy wszystkie pozostałe:

R₂ = K₀

(1 + *)"

-Ri

(i + 0*-¹ (! + »)*-*

-r₃

(1 + i)^N~³ (1 + 0^N“*

... — Rn

(1 +i)^N~^N (1 + i)^N~²'

Stąd po wykonaniu dzielenia mamy

i?2 — Ko{l + i)² — i?i(l + i) — R₃(l + i) ¹ — ... — i?w(l + i)² N

czyli aktualizujemy dług i wszystkie raty na moment 2 (czyli chwilę wpłaty brakującej raty) i odejmujemy raty od długu.

□

Zadanie 24. Kredyt Ko = 950 zł jest spłacany ratami R\ = 280 zł, R₂ = R3 = 300 zł i R4 = 150 zł. Okresowa stopa procentowa wynosi i = 2,5% (oprocentowanie składane).

(a) Czy raty są równoważne kredytowi? (b) Jaka powinna być pierwsza rata by była równoważność? (c) Przy jakiej stopie procentowej pożyczka jest równoważna ratom?

[(a) nie, (b) 256,23, (c) 3,59%]    □

Zadanie 25. Znaleźć brakującą ratę gdy pożyczka 5000 zł udzielona na początku roku będzie spłacana trzema ratami R_t, R₂ i Rą na koniec odpowiednio pierwszego, drugiego i czwartego kwartału. Wiemy, że Ri = 2000 zł i R2 = 2600 zł oraz kwartalna stopa procentowa wynosi 6%. Jaka jest wysokość Rą?

[5000 = 2000 ■ 1,06^_1 + 2600 ■ 1,06^-2 + 0 • 1,06~³ + Rą ■ 1,06~⁴ i stąd Rą = 1008,99]    □

Można wyróżnić dwa scenariusze spłat uzgodnione między wierzycielem a dłużnikiem:

(a)    ustala się raty łączne: Aą, A2,... An ~ czyli kwoty jakie będą wpłacane w kolejnych okresach. Często taka umowa wymaga raty równej (annuitetowej).

(b)    ustala się raty kapitałowe: Tą,T₂,...T_n - zakładamy, że każda rata zawiera ustaloną (dla danej raty) część kapitału i doliczamy do niej odsetki za jeden okres - do następnej spłaty.

(gdzie N to liczba rat).