��Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
1
Modelowanie i analiza wBasno[ci
dynamicznych obiekt�w regulacji
OpracowaB : dr in|. SBawomir Jaszczak
1. Wprowadzenie teoretyczne
CzBowiek z do[ du| precyzj bardzo czsto potrafi sterowa wieloma urzdzeniami
technicznymi lub wykonywa dziaBania, kt�re mo|na nazwa sterowaniem. Efektywno[
poprawia si wraz z gromadzeniem wiedzy do[wiadczalnej na temat zachowania si
konkretnego urzdzenia. PrzykBadowo kierowanie pojazdem samochodowym tj. ruchem po
okre[lonej trajektorii wymaga nabytych w drodze do[wiadczeD informacji na temat
wBa[ciwo[ci dynamicznych pojazdu, takich jak przyspieszenie, czy droga hamowania.
Podobnie sternik podpBywajcy Bodzi do nabrze|a musi sobie zdawa spraw z bezwBadno[ci
i opor�w hydro- i aerodynamicznych kierowanej przez siebie jednostki, gdy| w przeciwnym
przypadku mo|e rozbi B�dz lub nabrze|e. Okazuje si wic, |e perfekcyjnemu, w wielu
przypadkach, ukBadowi sterowania , jakim jest czBowiek potrzebne s informacje o procesie.
Tym bardziej informacje o dynamice w postaci modelu matematycznego bd potrzebne
ukBadowi automatycznego sterowania.
Model matematyczny procesu sterowanego (obiektu) powinien reprezentowa dany ukBad
fizyczny z punktu widzenia celowego oddziaBywania (sterowania) na zachodzce w tym
ukBadzie zmiany za po[rednictwem okre[lonych wielko[ci fizycznych (akcji sterujcych).
PrzykBadowo silnik prdu staBego mo|e stanowi obiekt sterowania prdko[ci obrotow, na
kt�r mo|na wpBywa za pomoc napicia. W ten spos�b tworzy si zale|no[ midzy
przyczyn i skutkiem. Je[li zapiszemy j w jzyku matematyki, otrzymamy model dynamiki.
Na jego podstawie automatyk mo|e zaproponowa takie rozwizanie w postaci ukBadu
sterujcego (regulator w okre[lonej konfiguracji), kt�re zapewni po|dane zachowanie
obiektu. Innymi sBowy dob�r algorytmu sterowania powinien odbywa si w spos�b
analityczny z do[ dobr znajomo[ci dynamiki procesu sterowanego, natomiast dostrajanie
algorytmu sterowania w warunkach rzeczywistych mo|e by przeprowadzone metod pr�b i
bBd�w, co zwykle ma miejsce.
Model matematyczny systemu dynamicznego mo|e by zdefiniowany jako zestaw
r�wnaD, kt�re reprezentuj dynamik systemu z dokBadno[ci pozwalajc na odwzorowanie
jego rzeczywistego zachowania. W praktyce takie r�wnania s wyprowadzane z
wykorzystaniem praw fizycznych rzdzcych wybranym systemem np. praw Newtona dla
ukBad�w mechanicznych i praw Kirchhoffa dla ukBad�w elektrycznych.
Proces sporzdzania modelu matematycznego przedstawia w spos�b uproszczony
schemat blokowy (rys.1.1).
Po stworzeniu modelu matematycznego konieczne jest przeprowadzenie drugiego etapu
identyfikacji - okre[lenie warto[ci parametr�w otrzymanego modelu. Dokonuje si tego
najcz[ciej drog eksperymentaln, przy czym pomiary s tym trudniejsze, im bardziej
skomplikowany jest opis procesu, im wicej informacji jest wymaganych i im wiksza musi
by dokBadno[.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
ZaBo|enia
System fizyczny Model
Model fizyczny matematyczny
Uproszczenia
Analiza Symulacja
matematyczna komputerowa
Rozwizanie
wpostaci modelu
odpowiedzi
Predykcja
Poszerzenie struktury
systemu
Spodziewane
zachowanie
systemu fizycznego
Modyfikacja parametr�w
systemu
Rys.1.1. Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych.
Szerzej zagadnienie modelowania dynamiki ukBad�w mechanicznych, elektrycznych i
pBynowych om�wiono w [8].
Obecnie do[ powszechne jest wykorzystywanie modelu systemu zapisanego w pamici
komputera. Jest on wygodny do demonstracji zachowania si systemu i mo|e by
wykorzystany wielokrotnie w trakcie projektowania r�|nych ukBad�w regulacji. W symulacji
komputerowej mo|na ponadto wykorzystywa sygnaBy zarejestrowane w systemie
rzeczywistym, co wpBywa na popraw jako[ci modelu.
Celem wiczenia jest zapoznanie si z podstawowymi technikami modelowania i badania
ukBad�w dynamicznych cigBych i dyskretnych, w tym r�wnie| z aspektami numerycznymi
zagadnienia modelowania. W trakcie wiczeD wykorzystywany bdzie program MatLab v.6.5
lub 7.01 wraz z przybornikami Control System Toolbox oraz Simulink. Efektem koDcowym
zaj ma by uzyskanie wiedzy praktycznej, dotyczcej metod analizy wBasno[ci
dynamicznych z u|yciem oprogramowania wspomagajcego. Dodatkowe informacje na temat
wykorzystania [rodowiska MatLab w teorii regulacji mo|na znalez w [6].
1.1 Cel i spos�b sporzdzania charakterystyk czasowych
W przypadku syntezy prostych ukBad�w sterowania (np. ukBad�w regulacji jednej
zmiennej SISO) dla typowych, znanych obiekt�w czsto nie przeprowadza si etapu opisu
matematycznego, [ci[lej m�wic korzysta si ze znanego ju| gotowego modelu
matematycznego. Model ten zwykle znany jest w postaci transmitancji operatorowej.
W�wczas zdejmuje si charakterystyk dynamiczn obiektu lub ukBadu automatyki bdc
wynikiem odpowiedzi obiektu na standardowe wymuszenie i na jej podstawie ustala si
warto[ wsp�Bczynnik�w tej transmitancji. Dokonuje si w ten spos�b identyfikacji dynamiki.
Na szczeg�ln uwag zasBuguj : charakterystyki czasowe - tj. odpowiedz ukBadu (elementu)
na impuls Diraca (ch. impulsowe) lub skok jednostkowy sygnaBu wej[ciowego (ch. skokowe)
oraz charakterystyki czstotliwo[ciowe. Charakterystyki te mo|na uzyska metod
pomiarow rejestrujc przebieg sygnaBu wej[ciowego przy podaniu odpowiedniego
wymuszenia np. skoku jednostkowego (napicia, siBy, momentu, nat|enia dopBywu, ci[nienia
itp.) zazwyczaj Batwego do zrealizowania. Typowe wymuszenia przedstawia rysunek poni|ej :
Impuls Diraca Skok jednostkowy Sinusoida SygnaB typu rampa
u(t) u(t)
u(t) u(t)
t
t
t t
u(t)=�(t) u(t)=1(t) x(t)=u0sin�t u(t)=1(t)�"t
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Powszechn praktyk w projektowaniu liniowych ukBad�w regulacji jest posBugiwanie si
modelami tzw. podstawowych czBon�w dynamicznych. Praktycznie ka|dy liniowy obiekt
regulacji mo|na pr�bowa przybli|y podstawowym czBonem dynamicznym lub poBczeniem
kilku. Poni|ej przedstawiono ich wykaz wraz z funkcj przej[cia (transmitancj operatorow)
i charakterystyk skokow.
Charakterystyki skokowe typowych czBon�w dynamicznych
ZakBadamy, |e amplituda skoku jednostkowego wynosi u0(t)
Element proporcjonalny
y(t)
Transmitancja : G(s)= k
y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
t
Element inercyjny I-go rzdu
y(t)
k
Transmitancja : G(s)=
sT + 1
y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
T - staBa czasowa inercji
T
t
Element caBkujcy idealny
y(t)
k
Transmitancja : G(s)=
s
k - wsp�Bczynnik wzmocnienia prdko-
y0(t)
y0(t) tg�
[ciowego k = =
�
"t �"u0(t) u0(t)
"t
t
Element op�zniajcy
y(t)
0
Transmitancja : G(s)= k �" e-sT
y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
T0 - czas op�znienia
T0
t
Element op�zniajcy z inercj
y(t)
0
k �"e-sT
Transmitancja : G(s)=
sT + 1 y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
T0 T
T - staBa czasowa inercji
t
T0 - czas op�znienia
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Element caBkujcy rzeczywisty
y(t)
k
Transmitancja : G(s)=
s(sT + 1)
k - wsp�Bczynnik wzmocnienia prdko-
y0(t)
y0(t) tg�
�
[ciowe k = =
"t �"u0(t) u0(t)
T "t
t
T - staBa czasowa inercji
Element r�|niczkujcy idealny
y(t)
Transmitancja : G(s) = k �" s
y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
t
Element r�|niczkujcy rzeczywisty
y(t)
Td s
Transmitancja : G(s)= k
sT + 1
y0(t)
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
Td - staBa czasu r�|niczkowania
Td
t
T staBa czasowa inercji T H"Td
Element oscylacyjny
y(t)
k
Transmitancja : G(s)=
s2 2�s
+ + 1
y0(t)
�2 �n
n
y0(t)
k - wzmocnienie k =
u0(t)
t
�n- czstotliwo[ naturalna elementu
�- wzgldne tBumienie elementu
Wiadomo[ci uzupeBniajce do podstawowych czBon�w dynamicznych mo|na znalez
w [1,15,37].
1.2 Cel i spos�b zdejmowania charakterystyk czstotliwo[ciowych
W celu okre[lenia wBa[ciwo[ci nieznanego obiektu mo|na r�wnie| zdejmowa
charakterystyki czstotliwo[ciowe : amplitudowo-fazow (wykres Nyquist a) oraz
logarytmiczne : amplitudow i fazow (wykresy Bode go). Stosuje si tu m. in. metod fali
sinusoidalnej (istniej tak|e metody fali tr�jktnej, prostoktnej, trapezowej i inne).
Metoda ta polega na wprowadzaniu do wej[cia obiektu wymuszenia harmonicznego o
zmiennej czstotliwo[ci i staBej amplitudzie - rys.1.2. Po ustaleniu si drgaD na wyj[ciu
obiektu okre[la si ich amplitud i przesunicie fazowe wzgldem drgaD wej[ciowych.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Rejestrator
Awe(�) amplituda
u(t)
harmonicznej
y(t)
OBIEKT wej[ciowej
Awy(�) amplituda
u(t)
y(t)
harmonicznej
wyj[ciowej
� przesunicie fazowe
�=��t �=��t
�
Rys.1.2 Praktyczne zdejmowanie charakterystyk czstotliwo[ciowych.
Zar�wno przebieg wielko[ci wej[ciowej jak i wyj[ciowej jest mierzony za pomoc
rejestratora. Dziki jednoczesnemu odwzorowywaniu obu wielko[ci mo|liwe jest uchwycenie
przesunicia fazowego midzy nimi.
Na podstawie uzyskanych wykres�w sporzdza si charakterystyki czstotliwo[ciowe.
PrzykBad : Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego 1-go rzdu o
transmitancji :
k
G(s)=
sT + 1
Rys.1.3. Charakterystyka amplitudowo-
Im(j�)
fazowa elementu inercyjnego 1-go rzdu
Awy
Re(j�)
R - promieD wodzcy =
Awe
� �=0
k
�= "
R �1
�3 > � 2 > � 1&
�2
�4
�3
Na wykresie nanosimy punkty odpowiadajce kolejnym czstotliwo[ciom
Awy
wymuszajcym, okre[lone przez stosunek amplitud = R i kt przesunicia fazowego �.
Awe
Charakterystyk amplitudowo-fazow mo|na zastpi 2-ma charakterystykami : amplitu-
dowo-czstotliwo[ciow i fazowo-czstotliwo[ciow, przy czym na osiach wsp�Brzdnych
nanosi si skal logarytmiczn.1
1
PodziaBka osi � jest logarytmiczna, dekadowa tzn. ka|dej dekadzie � odpowiada odcinek o jednakowej
dBugo[ci na osi �.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Rys.1.4. Charakterystyki czstotliwo[ciowe : amplitudowa i fazowa.
Charakterystyki czstotliwo[ciowe podstawowych element�w dynamicznych
Element proporcjonalny
Rys. 1.5. Charakterystyki czstotliwo[ciowe
Im(j�)
�= 0� "
a) amplitudowa - fazowa
Re(j�)
k
[dB]
20log k
Awy
20 log
Awy b) logarytmiczna amplitudowa
log�
Element inercyjny 1-go rzdu
Na przykBadzie elementu zostanie przedstawiony spos�b analitycznego wykre[lania
charakterystyki na podstawie modelu w postaci transmitancji operatorowej G(s) :
k
G(s)=
sT +1
Krok 1 : Podstawiamy s = j� (tzw. zespolona pulsacja), gdzie j = -1 . Jako wynik
uzyskujemy transmitancj widmow G( j�) .
K 1- j�T k(1- j�T)
G( j� ) = �" =
2
1+ j�T 1- j�T 1+ �2T
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Krok 2 : Wyodrbniamy Re(�) - cz[ rzeczywist i Im(�) - cz[ urojona
G( j� ) = Re(�)+ j Im(�) gdzie
k
Re(�)=
2
1 + �2T
- �T
Im(�)=
2
1 + �2T
Krok 3 : Podstawiajc kolejno �= 0 � " mo|emy zbudowa charakterystyk amplitudowo-
fazow :
Im(j�)
Re(j�)
k
�= " �=0
�
R
Rys.1.6. Charakterystyka amplitudowo - fazowa elementu inercyjnego 1 - go rzdu.
Awy
Oznaczmy = R
Awe
Na podstawie wykresu mo|emy napisa :
k
R = Re2 + Im2 =
2
1 + �2T
Im
� = arctg = arctg(- �T)= -arctg�T
Re
Wykorzystujc powy|sze formuBy mo|na wykre[li charakterystyki amplitudowo-
czstotliwo[ciow i fazowo-czstotliwo[ciow pokazane wcze[niej.
Element caBkujcy idealny
1
Transmitancja G( s ) = gdzie TC - czas caBkowania
sTC
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Im(j�)
Rys. 1.7.Charakterystyki czstotliwo[ciowe
a) amplitudowo-fazowa
Re(j�)
� = "
� = 0
Awy
20 log [dB]
b) logarytmiczna amplitudowa
Awy
1
�=
Tc
log�
Element r�|niczkujcy idealny
Transmitancja G(s)= s �"Td gdzie Td - czas r�|niczkowania
Rys. 1.8.Charakterystyki czstotliwo[ciowe
Im(j�)
a) amplitudowo-fazowa
� = "
� = 0
Re(j�)
b) logarytmiczna amplitudowa
Awy
20 log [dB]
Awy
log�
1
� =
Td
Element oscylacyjny
K
Transmitancja G( s ) =
s2 2�s
+ + 1
2
�o �o
�o - czstotliwo[ drgaD wBasnych
�- stopieD (wsp�Bczynnik) tBumienia
k - wzmocnienie statyczne
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Rys.1.9. Charakterystyki czstotliwo[ciowe
Im(j�)
a) amplitudowo-fazowa
Re(j�)
� = "
k
� = 0
[dB]
b) logarytmiczna amplitudowa
Awy
20 log
Awy
log�
� = �r
Znajc wielko[ �r oraz �0 okre[li wielko[ wsp�Bczynnika tBumienia �. Maksimum
krzywej wystpuje w pobli|u czstotliwo[ci drgaD wBasnych �o .
Oznaczmy czstotliwo[ wystpowania rezonansu przez �r , to czstotliwo[ drgaD
wBasnych �o mo|na obliczy ze wzoru :
�r
�o =
1 - 2�2
Amplituda odpowiadajca czstotliwo[ci �r okre[lona jest wzorem :
k
A(�r )=
2� 1 - �2
Majc, wic maksimum krzywej mo|emy z tego wzoru obliczy wsp�Bczynnik
tBumienia �.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
2. Cz[ praktyczna
2.1.Analiza w Control System Toolbox (CST)
Systemy liniowe mog by reprezentowane w CST poprzez :
" opis w postaci transmitancji operatorowej [1,15,37]
" opis w przestrzeni w stanu.
W przypadku zapisu operatorowego wsp�Bczynniki wielomianu licznika i mianownika
funkcji przej[cia (transmitancji) s wprowadzane w postaci wektor�w wierszowych. Tak wic
majc dan og�ln posta funkcji przej[cia n stopnia :
bmsm + bm-1sm-1 + ...b1s + b0
G( s ) = n e" m
ansn + an-1sn-1 + ...a1s + a0
w przestrzeni Matlaba reprezentuj j dwa wektory :
>> licz = [bm, bm-1,& ,b1, b0];2
>> mian = [an, an-1,& ,a1, a0];
PrzykBad :
5s3 + 2s2 + 7s + 3
G(s) =
3s4 + 7s3 + 2s2 + 5s + 3
>> licz = [5,2,7,3];
>> mian = [3,7,2,5,3];
Obecna wersja CST umo|liwia r�wnie| definiowanie obiekt�w za pomoc funkcji tf.
Funkcja tf umo|liwia przypisanie wektor�w licz i mian do obiektu. Wpisanie nazwy obiektu
i zatwierdzenie z linii komend spowoduje wy[wietlenie transmitancji.
PrzykBad :
>> obiekt = tf(licz,mian)
>>obiekt
Transfer function:
5 s^3 + 2 s^2 + 7 s + 3
-------------------------------
3 s^4 + 7 s^3 + 2 s^2 + 5 s + 3
Transmitancja operatorowa mo|e zosta zapisana w zmienionej formie w postaci
iloczynowej, w kt�rej wielomian licznika i mianownika rozkBada si odpowiednio na iloczyn
n i m dwumian�w. Miejsca zerowe dwumian�w stanowi warto[ci charakterystyczne
transmitancji i nazywane s odpowiednio dla mianownika biegunami bi, natomiast dla
licznika zerami zj.
(s � z0) �"(s � z1) �"K�"(s � zm )
G(s) = k �" n e" m
(s � b0) �"(s � b1)�"K�"(s � bn )
2
Zrednik na koDcu polecenia wpisywanego z linii komend powoduje wyBczenie efektu echa tj. wy[wietlania
wyniku dziaBania polecenia. Szczeg�lnie przydatne w trakcie wyliczania du|ych serii danych.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Dodatkowo przy tego typu zapisie w liczniku bdzie wystpowaB wsp�Bczynnik
skalujcy k, kt�ry bBdnie nazywany jest w Matlabie wzmocnieniem3.
W tym przypadku, chcc przeanalizowa dziaBanie obiektu reprezentowanego przez
model w postaci transmitancji, nale|y zadeklarowa warto[ci zer i biegun�w oraz
wsp�Bczynnika skalujcego
Z = [mz0, mz1,K, mzm ];
B = [mb0, mb1,K, mbm ];
K =k;
a nastpnie przeksztaBci do poznanej wcze[niej transmitancji w wersji standardowej
PrzykBad :
(s + 3)(s + 2)(s + 0.5)
G(s) = 5�"
(s + 3)(s + 2)(s + 0.5)(s +1)(s + 0.2)
>> Z = [-3,-2,-0.5];
>> B = [-3,-2,-0.5,-1,-0.2];
>> K = 5;
[licz,mian] = zp2tf(Z,B,K);
Polecenie tf2zp spowoduje z kolei wy[wietlenie warto[ci zer, biegun�w i wzmocnienia,
je[li wcze[niej zadeklarowano transmitancj w spos�b poprzednio prezentowany.
CST oferuje wiele przydatnych przy analizie liniowych ukBad�w automatycznej regulacji. S
to m. in. :
1. Og�lne
ctrlpref Ustawianie wBa[ciwo[ci Control System Toolbox
2. Tworzenie modeli liniowych
tf Tworzenie transmitancji operatorowej.
zpk Tworzenie modelu w postaci transmitancji iloczynowej.
3. PrzeksztaBcenia
tf lub tf2zp Przej[cie z modelu iloczynowego do transmitancji operatorowej
zpk lub zp2tf Przej[cie z transmitancji operatorowej do modelu iloczynowego
c2d lub c2dm Zamiana modelu cigBego w dyskretny
d2c Zamiana modelu dyskretnego w cigBy
4. Algebra schemat�w blokowych
parallel upraszczanie poBczenia r�wnolegBego
series upraszczanie poBczenia szeregowego
feedback upraszczanie poBczenia typu sprz|enie zwrotne
5. Analiza transmitancji operatorowych
pole wyznaczanie biegun�w transmitancji
zero wyznaczanie zer transmitancji
pzmap wykre[lanie lub wyznaczanie zer i biegun�w transmitancji
6. Analiza czasowa
ltiview narzdzie graficzne do analizy czasowej i czstotliwo[ciowej (LTI Viewer)
step - generowanie odpowiedzi skokowej
impulse generowanie odpowiedzi impulsowej
lsim generowanie odpowiedzi na zadany wektor pobudzajcy
3
W teorii regulacji pojcie wzmocnienia wystpuje wtedy, kiedy wszystkie wyrazy wolne wielomian�w zostan
sprowadzone do jedno[ci.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
gensig prosty generator pobudzeD dla funkcji lsim
7. Analiza czstotliwo[ciowa
ltiview narzdzie graficzne do analizy czasowej i czstotliwo[ciowej (LTI Viewer)
bode generowanie logarytmicznych charakterystyk moduBu I fazy
bodemag generowanie logarytmicznej charakterystyki moduBu
nyquist generowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
margin wyznaczanie zapasu moduBu i fazy (przydatne w trakcie syntezowania
ukBadu regulacji metod czstotliwo[ciow)
Wykaz wszystkich dostpnych w ramach CST4 funkcji mo|na uzyska wpisujc :
>> help control
Analiz wBasno[ci dynamicznych bdziemy gB�wnie prowadzi w oparciu o polecenia z
grup 6 i 7.
PrzykBad :
>> step(obiekt) lub step(licz,mian)
Wprowadzenie polecenia spowoduje wygenerowanie okna z charakterystyk skokow.
Step Response
8
6
4
2
0
-2
-4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Time (sec)
Rys.1.10. Charakterystyka skokowa wygenerowana w MatLabie.
Funkcja step mo|e by wykorzystana w inny spos�b.
>> [y,t]=step(obiekt); lub [y,x,t]=step(licz,mian);5
Wykonanie polecenia spowoduje wygenerowanie wektor�w y i t.
Dodatkowe mo|liwo[ci funkcji mo|na wy[wietli wpisujc :
>> help step
W podobny spos�b dziaBaj pozostaBe funkcje z grup 6 i 7.
Zadanie 1 Analiza podstawowych czBon�w dynamicznych
Dla wymienionych poni|ej obiekt�w nale|y wyznaczy charakterystyki :
A. czasowe :
" skokow - (step(licz,mian) lub step(obiekt))
" impulsow - (impulse(licz,mian) lub impulse(obiekt))
B. czstotliwo[ciowe :
" amplitudowo - fazow (nyquist(licz,mian) lub nyquist(obiekt))
4
Na stronie http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/control/control.html znajduje si obszerna
dokumentacja dotyczca CST.
5
W tym przypadku zmienna x reprezentuje wektor zmiennych stanu. Funkcja step w takim zapisie mo|e dawa
bBdne wyniki !!!
Amplitude
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
" logarytmiczn amplitudow i fazow - (bode(licz,mian) bode(licz,mian))
Dla obiekt�w 5 i 6 dodatkowo nale|y wyznaczy bieguny (roots(mian)) i zera
(roots(licz))6 oraz okre[li ich poBo|enie na pBaszczyznie Gaussa (pzmap(licz,mian)).
k
1. Obiekt inercyjny I go rzdu: G( s ) =
sT + 1
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
5 4 3 2 2 1 8 2
k
10 8 6 4 5 5 16 9
2 3 4 3 6 1 5 10
T
10 6 8 6 7 5 10 20
1
2. Obiekt caBkujcy: G( s ) =
sTC
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
2 3 4 3 6 1 5 10
Tc
10 6 8 6 7 5 10 20
1
3. Obiekt caBkujcy rzeczywisty: G( s ) =
sTC( sT + 1)
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
5 4 3 2 2 1 8 2
Tc
10 8 6 4 5 5 16 9
2 3 4 3 6 1 5 10
T
10 6 8 6 7 5 10 20
sTr
4. Obiekt r�|niczkujcy rzeczywisty:G( s ) =
sT + 1
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
5 4 3 2 2 1 8 2
Tr
10 8 6 4 5 5 16 9
2 3 4 3 6 1 5 10
T
10 6 8 6 7 5 10 20
K
5. Obiekt II rzdu: G( s ) =
s2 2�s
+ + 1
2
�o �o
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
5 4 3 2 2 1 8 2
k
10 8 6 4 5 5 16 9
2 3 4 3 6 1 5 10
�0
10 6 8 6 7 5 10 20
0.1
0.5
�
1
2
6
Warto[ci zer i biegun�w mo|na r�wnie| wyznaczy poleceniem pzmap (licz, mian) lub pzmap(obiekt), w tym
przypadku nale|y zwr�ci warto[ dziaBania funkcji do wektora dwuelementowego, poniewa| standardowo
pzmap generuje pBaszczyzn zmiennych zespolonych z oznaczonymi pierwiastkami wielomian�w licz i mian
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Analiza wBasno[ci dynamicznych wykorzystaniem m-skryptu
Wpisywanie cig�w poleceD z linii komend jest uci|liwe, a ponadto w przypadku
awaryjnego wyBczenia programu u|ytkownik mo|e straci wynik swojej pracy. Nale|y
raczej tworzy tzw. m-skrypty stanowice pliki tekstowe zapisywane z rozszerzeniem *.m. W
najprostszym przypadku jest to po prostu cig komend, stanowicych zawarto[
standardowych bibliotek MatLaba i tzw. toolbox �w. Wicej na temat programowania w
jzyku m mo|na znalez w [5, 7].
Poni|ej przedstawiono szkielet m-skryptu, umo|liwiajcego przeprowadzenie analizy
wBasno[ci dynamicznych nieskomplikowanego obiektu regulacji.
przyklad.m
%Komentarz do m-pliku powinien zawiera istotne informacje dotyczce przedmiotu tj. obiektu
%dynamicznego i zakresu eksperymentu symulacyjnego tj. istotnych szczeg�Bach metodyki.
%Data utworzenia : 30.09.2004
%Ostatnia modyfikacja : 16.09.2005
%Autor(zy) : SBawomir Jaszczak
%Komentarz w m-pliku stanowi jednocze[nie pomoc dla innych u|ytkownik�w. WywoBanie polecenia
%help przykBad.m spowoduje wy[wietlenie komentarza do pierwszej pustej linii lub pierwszej
%napotkanej linii kodu
close all %zamknicie wszystkich okien graficznych
clear %czyszczenie pamici roboczej MatLab
clc % usunicie wszystkich poleceD wpisywanych i zatwierdzanych z linii komend
%deklaracja wsp�Bczynnik�w transmitancji
licz = [5,2,7,3];
mian = [3,7,2,5,3];
printsys(num,den)%wy[wietlenie postaci transmitancji
%----------------Analiza czasowa--------------------
%charakterystyka skokowa
step(num,den)
%charakterystyka impulsowa
impulse(num,den)
%----------------Analiza czstotliwo[ciowa--------------------
%charakterystyka amplitudowo-fazowa
nyquist(num,den)
%charakterystyka Bode'go
bode(num,den)
%----------------Analiza zer i biegun�w-----------------------
pzmap(num,den)%mapa zer i biegun�w transmitancji
bieguny,zera]=pzmap(num,den)
Powy|szy m-skrypt nale|y zmodyfikowa w celu zapewnienia nastpujcych
funkcjonalno[ci :
1. Analiza czasowa i czstotliwo[ciowa oraz poBo|enie zer i biegun�w w osobnych
oknach graficznych (funkcja figure()), przy pierwsze dwa nale|y dodatkowo
podzieli na dwa poziome okienka (funkcja subplot()).
2. Kolejne wykresy maj si pojawia po przyci[niciu dowolnego klawisza, co
r�wnie| powinno by zasygnalizowane w Matlak Command Window
3. Wsp�Bczynniki transmitancji powinny by wprowadzane w trybie dialogowym
(funkcja input), przy je[li zostanie zatwierdzony brak warto[ci do wsp�Bczynnika
powinna zosta przypisana warto[ domy[lna (skorzysta z warunku if end oraz
funkcji isempty)
4. Zbada wBasno[ci obiektu, zmieniajc wybrany parametr w pewnym zakresie (np.
instrukcja for end lub sterowanie z u|yciem suwaka w oknie graficznym) odczyta
i umie[ci w tabeli : warto[ci zer i biegun�w, pulsacj zaBamania spadek o 3 dB od
warto[ci 20logk (obiekt 1), pulsacje przecicia z warto[ci 0 (obiekt 2, 3,4,5) oraz
pulsacj rezonansu lub zaBamania (spadek o 3 dB od warto[ci 20logk) (obiekt 5) ;
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
5. Zarejestrowa przebieg sygnaBu wyj[ciowego z ukBadu pod wpBywem nastpujcego
pobudzenia (funkcja lsim, wektor czasu z krokiem 0.1 [s] lub na podstawie funkcji
gensig napisa wBasn):
12 t "<� 0 : 10 >
��
��
u( t ) = 0 t "(10 : 20 > [ s ]
��
��
- 12 t "( 20 : 30 >
��
Zadania dodatkowe
1. Znalez w literaturze i/lub zr�dBach internetowych przykBady rzeczywistych
obiekt�w dynamicznych 1-5 (rysunek i/lub zdjcie i/lub schemat, model
matematyczny z opisem zmiennych.
2. Wyprowadzi analitycznie formuBy matematyczne, umo|liwiajce wygenerowanie
charakterystyk czstotliwo[ciowych, a nastpnie napisa m-funkcj w MatLabie.
2.2.Analiza w Simulinku
Bardzo ciekawym i funkcjonalnym rozszerzeniem MatLab a jest przybornik Simulink.
Umo|liwia graficzne modelowanie system�w dynamicznych z wykorzystaniem
rozbudowanej biblioteki gotowych element�w. U|ytkownik mo|e tworzy wBasne elementy
tworzc je z gotowych komponent�w lub piszc s-funkcje w jzyku wysokiego poziomu.
Ka|dy z element�w posiada wBasny interfejs. PoBczenia midzy blokami tworzy si za
pomoc myszy. Simulink daje ponadto mo|liwo[ analizowania ukBad�w nieliniowych, czego
brak stanowi powa|ny niedostatek CST. Wymiana danych z MatLabem nastpuje na
poziomie przestrzeni roboczej, tak wic wszystkie zmienne zadeklarowane w Matlab
Command Window staj si widoczne z poziomu Simulinka. Uruchomienie nastpuje
poprzez wpisanie i zatwierdzenie :
>> simulink
lub wci[nicie ikonki
Pojawia si w�wczas okno Simulink Library Browser, kt�re zawiera kilkana[cie
przybornik�w.W trakcie tego cyklu zaj najcz[ciej wykorzystywane bd :Continuous,
Discontinuities, Discrete, Math Operations, Signal Routing, Sinks i Sources.
Lista w lewym oknie obejmuje poza Simulinkiem inne przyborniki MatLab a
udostpniajce funkcje blokowe.
Szerzej podstawowe funkcje Simulinka om�wiono w [6]7
Zadanie 2 Modelowanie i analiza rzeczywistego ukBadu dynamicznego
Proces tworzenia modelu a nastpnie analizy zostanie przedstawiony na przykBadzie
prostego ukBadu dynamicznego.
i(t) ZaBo|enia :
ukBad liniowy, czasowo-inwariantny
R
R =100 [Ohm] op�r elektryczny,
c = 0.03 [F] pojemno[ elektryczna
U1(t) napicie wej[ciowe
u1(t) C u2(t)
U2(t) napicie wyj[ciowe
7
Na stronie http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/simulink/simulink.html znajduje si
obszerna dokumentacja dotyczca Simulinka.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Po zbilansowaniu spadk�w napi z wykorzystaniem prawa Kirchoffa mo|na zapisa :
di
��R �" + c �" ti( t )dt = U1( t )
�� +"
o
dt
��
��c �" ti( t )dt = U2( t )
+"
�� o
Wykorzystujc nastpnie przeksztaBcenie Laplace a mo|na zapisa ukBad r�wnaD
operatorowych :
1
��R �"i( s )�" s + c �"i( s )�" = U1( s )
��
��
s
��
��c �"i( s )�" 1 U2( s )
=
��
�� s
z kt�rej wynika transmitancja operatorowa :
U2( s ) 1
G( s ) = = (1.4)
U1( s ) R �" c �" s + 1
Krok 1 : Transmitancj G(s) zapisujemy w postaci r�wnaD stanu, rozpisujc osobno
licznik i mianownik transmitancji.
U2( s ) p( s ) 1
G( s ) = = �"
U1( s ) p( s ) R �" c �" s + 1
gdzie p(s) stanowi pomocnicz transformat
L :U2( s ) = p( s )
M :U1( s ) = p( s )�" R �" c �" s + p( s )
wykorzystujc twierdzenie o r�|niczkowaniu zapisujemy r�wnania w dziedzinie czasu
U2( t ) = p( t )
��
��
&
( t ) = p( t )�" R �" c + p( t )
��U1
Jak wida zmienna p(t) reprezentuje sygnaB wyj[ciowy.
&
Krok 2 : Na podstawie r�wnania drugiego wyznaczamy p( t ). Przyjcie zaBo|enia, |e
& &
znamy zmienn p( t )tzn. istnieje potencjalny generator sygnaBu p( t ), stanowi podstaw do
utworzenia modelu.
1
&
p( t ) = (U1( t ) - p( t ))
R �" c
Do rozwizania r�wnania bd potrzebne : elementy sumujce, wzmacniajce (Sum i
Gain z przybornika Math Operations) i caBkujce (Integrator z przybornika Continuous).
Ka|dy z wymienionych element�w nale|y przecign do okna edycji. Do wej[cia obiektu
nale|y doprowadzi sygnaB pobudzajcy (tu : skok jednostkowy o okre[lonej amplitudzie) -
Step Input ze zbioru Sources.
Krok 3 : Zebrane elementy umo|liwiaj ju| zbudowanie modelu matematycznego obiektu.
Analizujc kolejne operacje matematyczne w r�wnaniu, kt�rym poddawane s poszczeg�lne
sygnaBy, analogicznie Bczy si elementy z odpowiednio wpisanymi parametrami. Wybrane
operacje na elementach:
- zmiana parametr�w elementu klikn na elemencie Gain dwukrotnie i wpisa nowe
parametry (tu: zapis symboliczny R * c);
- rysowanie strzaBek - klikn na wyj[ciu jednego elementu i przecignij strzaBk do wej[cia
drugiego (poBczenia mo|na tworzy w formie odcink�w);
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
- obr�t zaznaczy element a nastpnie wybra z menu Format->Flip Block(lub Ctrl+i).
Efektem dziaBaD jest nastpujcy model:
U1(t)
pprim(t)
U1(t)-p(t)
p(t)=U2(t)
1
-K-
s
Step
R*c Integrator
Scope
Krok 4 : Istotn zalet Simulinka jest mo|liwo[ obserwacji wszystkich zmiennych stanu
wystpujcych w modelu dynamicznym. Dla rozpatrywanego przykBadu poza przebiegiem
warto[ci wyj[ciowej U1(t) mo|na jednocze[nie rejestrowa przebieg sygnaBu wej[ciowego i
pochodnej sygnaBu wyj[ciowego, kt�r otrzymujemy na wyj[ciu elementu sumujcego.
Analizowane sygnaBy nale|y doprowadzi do bloku Mux -> Signal Routing, a jego wyj[cie
podBczy do wej[cia elementu Scope z przybornika Sinks.
U1(t)
U1(t)-p(t)
pprim(t)
p(t)=U2(t)
1
-K-
s
Step
R*c Integrator
Scope
Krok 5 : Tak przygotowany model mo|na przeksztaBci w nowy element. W celu
zgrupowania nale|y zaznaczy wszystkie elementy w oknie edycyjnym poza elementem Step
Input, Scope, Mux i wybra z menu Edit->Create SubSystem. Utworzony element nie
posiada standardowego okna dialogowego i ikony (po dwukrotnym klikniciu, zamiast p�l do
okre[lenia parametr�w, poka|e si peBna struktura). Zgrupowany model nale|y zamaskowa
Edit->Mask SubSystem. W zakBadce Icon okre[lamy ikonk bloku (w tym przypadku bdzie
to tekst Model Rc ). Do wyboru jest wiele opcji w tym bitmapy.
W zakBadce Parameters definiujemy zmienne, kt�re bd widoczne w oknie
dialogowym interfejsu.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Odtd nowy element bdzie zachowywaB si tak samo, jak standardowe elementy
Simulinka, czyli po dwukrotnym klikniciu bdzie mo|na wprowadzi warto[ci parametr�w.
Krok 6 : Obejmuje przygotowanie symulacji : Simulation-> Configuration
Parameters. Nale|y okre[li: metod rozwizania, czas symulacji Start Time: 0.0, Stop
Time : np. 20.0 oraz parametry metody Min Step Size : 0.001, Max Step Size : 1. Symulacj
rozpoczynamy z menu Simulation->Start .
Czas pocztkowy Czas koDcowy
Wyb�r metody caBkowania
numerycznego
Minimalny krok caBkowania
Tolerancja warto[ci bBdu
caBkowania
Maksymalny krok caBkowania
Zadania dodatkowe
1. Sprawdzi dziaBanie ukBadu przy niezerowych warunkach pocztkowych (Badunek
szcztkowy na kondensatorze) niezerowa warto[ pocztkowa w bloku integratora;
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
2. Sprawdzi wBasno[ci filtrujce elementu Rc poda na wej[cie elementu pobudzenie
harmoniczne (np. sinusoida (Signal Generator->Sources)) zarejestrowa przebiegi
dla pulsacji poni|ej i powy|ej progu zaBamania (por�wna z warto[ci wyliczon).
3. Umo|liwi zapis wynik�w symulacji (wszystkie zmienne stanu, pobudzenie oraz
podstawa czasu (Sources->Clock)) do przestrzeni roboczej a nastpnie napisa m-
skrypt umo|liwiajcy :
" wygenerowanie dw�ch wykres�w w osobnych oknach graficznych (u2(t)=f(t)
wraz z u1(t)=f(t), pprim(t)=f(t) wraz z u1(t)=f(t));
" przeprowadzenie symulacji modelu w Simulinku przy zmieniajcym si
parametrze R lub c (wykorzysta funkcj sim() oraz instrukcj for end.)8
Praca domowa
Zamodelowa i przeanalizowa wBasno[ci dynamiczne rzeczywistego obiektu regulacji
(wybra na podstawie tabeli poni|ej) zgodnie z przykBadami zrealizowanymi w ramach
laboratorium.
Zesp�B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Silnik DC Silnik DC z Amortyzator Amortyzator SprzgBo Amortyzator Silnik DC UkBad
Typ
jako obiekt obci|eniem samochodowy samochodowy hydrauliczne samochodowy jako obiekt pneumatyczny
obiektu
sterowania bez z ogumieniem z ogumieniem sterowania zbiornik-
prdko[ci ogumienia (pobudzenie (pobudzenie ktem siBownik
(bez siBa) siBa) obrotu tBokowy
obci|enia) (bez
obci|enia)
Wymagania koDcowe
Rozliczenie wykonania wiczenia nastpuje na podstawie sprawozdania, zawierajcego
nastpujce elementy :
1. cele, metodyka badaD, schematy blokowe, m-skrypty itp.
2. wyniki badaD (postaci transmitancji, wykresy itp.)
3. wnioski wynikajce ze szczeg�Bowej analizy wynik�w.
W sprawozdaniu uj wyniki zadania 1 wraz z zadaniami dodatkowymi i zadania 2
(tylko zadania dodatkowe) oraz pracy domowej. Integraln cz[ stanowi m-skrypty i
modele Simulinka, kt�re powinny by przygotowane do ewentualnego uruchomienia i
om�wienia.
Pytania kontrolne
1. Podaj transmitancj, charakterystyki czasowe, charakterystyki czstotliwo[ciowe
podstawowych element�w automatyki.
2. Podaj definicj transmitancji operatorowej.
8
Wybrany parametr powinien by wstawiony w postaci symbolicznej w modelu simulinkowym. W podobny
spos�b mo|na sterowa wszystkimi parametrami blok�w np. warto[ skoku jednostkowego, a za pomoc funkcji
simset() parametrami samej symulacji.
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
3. Podaj skBadni polecenia <�& > dla obiektu opisanego nastpujc transmitancj
operatorow.
4. Napisz m-skrypt umo|liwiajcy przeprowadzenie analizy czasowej i
czstotliwo[ciowej modelu cigBego opisanego r�wnaniem r�|niczkowym.
5. Om�w metodyk praktycznego sporzdzania charakterystyki amplitudowo-fazowej
obiektu dynamicznego.
6. Na czym polega r�|nica midzy elementem statycznym i dynamicznym ?
7. W jakich jednostkach okre[la si przebieg moduBu na charakterystyce amplitudowej ?
8. Wyja[nij pojcie zer i biegun�w transmitancji.
9. Por�wnaj pojcia sterowanie i regulacja dla ukBad�w jednej zmiennej.
10. WymieD cechy systemu dynamicznego;
11. WymieD cechy systemu statycznego;
12. Co to jest rzd ukBadu ?
13. Co to jest transmitancja operatorowa ?
14. Jakie warunki musi speBnia r�wnanie r�|niczkowe, aby mo|na byBo na jego
podstawie wyznaczy transmitancj operatorow ?
15. Jaki warunek musz speBnia sygnaBy ukBadu automatyki aby ukBad byB liniowy. Poda
przykBad sygnaBu liniowego.
16. Napisz twierdzenie o liniowo[ci i opisz je;
17. Napisz twierdzenie o r�|niczkowaniu;
18. Napisz twierdzenie o caBkowaniu;
19. Napisz twierdzenie o warto[ci koDcowej.
20. Dana jest transformata pewnego sygnaBu. Oblicz, do jakiej warto[ci d|y sygnaB
rzeczywisty.
21. Zinterpretuj pojcie stacjonarno[ci.
22. Jak zasad powinny speBnia ukBady liniowe ? Podaj j.
23. Om�w pojcie transmitancji operatorowej (komentarze);
24. SygnaBy wykorzystywane w analizie wBa[ciwo[ci dynamicznych ? (nazwa, funkcja
czasu, transformata).
25. Dana jest transmitancja pewnego obiektu. Wyznacz odpowiedz obiektu na skok
jednostkowy, impuls Diraca, pobudzenie czasowo-liniowe.
26. Impuls Diraca: przykBad i jego praktyczna realizacja.
27. Skok jednostkowy: przykBad i jego praktyczna realizacja;
28. Pobudzenie czasowo-liniowe: przykBad i jego praktyczna realizacja;
29. Metodyka praktycznego sporzdzania charakterystyki amplitudowo-fazowej.
30. Na podstawie r�wnania r�|niczkowego (podana bdzie posta) wyprowadz
transmitancj operatorow. Ile wynosi rzd tego obiektu.
31. Dane jest r�wnanie r�|niczkowe (podana bdzie posta). Wyznacz transmitancj i
stwierdz, czy opisuje rzeczywisty proces.
32. Jak wyznaczy charakterystyk dynamiczn i statyczn ukBadu opisanego r�wnaniem
r�|niczkowym (podana bdzie posta) przy pobudzeniu sygnaBem (bdzie podany) ?
Laboratorium nr 1 - Modelowanie i analiza wBasno[ci dynamicznych obiekt�w regulacji
Literatura
Istotno[ okre[lonej pozycji literaturowej:
A - podstawowa, P pomocnicza, C - rozszerzajca zakres przedmiotu, L - do laboratorium U uzupeBniajca
1. A Amborski K. Teoria sterowania - podrcznik PWN, Warszawa 1987,
programowany
2. P Ackermann J. Regulacja impulsowa PWN, Warszawa 1976
3. U Astrom K., Wittenmark B. Computer controlled systems Prentice Hall London 1984
4. U Auslander D.M., Tham C.H. Real Time software for control :
Program examples in C
5. L Brz�zka J., DorobczyDski L. Programowanie w MatLab Mikom, Warszawa 1998
6. L Brz�zka. J. wiczenia z automatyki w Matlabie i PWN, Warszawa 1997
Simulinku
7. L Brz�zka J., DorobczyDski L. Matlab [rodowisko obliczeD Mikom, Warszawa 1998
naukowo-technicznych
8. U Canon R.H. jr. Dynamika ukBad�w fizycznych WNT Warszawa 1973
9. C Chorowski B., Werszko M. Mechaniczne urzdzenia automatyki Mikom, Warszawa 2005
10. U Dorf R.C., Bishop R.H. Modern control systems
11. C Findeisen W. Struktury sterowania dla zBo|onych Oficyna Wydawnicza Politechniki
system�w Warszawskiej, Warszawa 1997,
12. C Fortuna Z., Macukow, Metody numeryczne WNT, Warszawa 1998
Wsowski J.
13. L Frelek B. i inni Laboratorium podstaw automatyki Wydawnictwa Politechniki
Warszawskiej, 1984,
14. P Gutowski R. R�wnania r�|niczkowe zwyczajne WNT, Warszawa 1971
15. A Kaczorek T. Teoria sterowania Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1976,
16. P Kudrewicz J. PrzeksztaBcenie Z i r�wnania PWN, Warszawa 2000
r�|nicowe
17. U Leigh J.R. Applied digital control Prentice Hall, London 1985
18. P Leja F. Funkcje zespolone PWN, Warszawa 1967
19. P Markowski A., Kostro J., AUTOMATYKA w pytaniach i WNT, Warszawa 1985,
Lewandowski A. odpowiedziach
20. P Mazurek J., Podstawy automatyki Wydawnictwa Politechniki
Vogt H., {ydanowicz W. Warszawskiej, Warszawa 1990, 1992 i
nowsze,
21. L Mrozek B., Mrozek Z. Matlab uniwersalne [rodowisko do PWN, Warszawa 1987
obliczeD naukowo technicznych.
22. P NiederliDski A. Systemy i sterowanie, wstp do WNT, Warszawa 1972
automatyki i cybernetyki technicznej
23. U Ogata K. Modern control engineering
24. P Osiowski J. Zarys rachunku operatorowego WNT, Warszawa 1972
25. A PeBczewski W. Teoria sterowania WNT, Warszawa 1980,
26. C PizoD A. Elektrohydrauliczne analogowe i WNT, Warszawa 1995
cyfrowe ukBady automatyki
27. L Praca zbiorowa wiczenia laboratoryjne z podstaw Oficyna Wydawnicza Politechniki
automatyki Warszawskiej, Warszawa 1995,
28. P PuBaczewski J. Podstawy regulacji automatycznej WSiP, Warszawa 1980
29. A PuBaczewski J., Szacka K., Zasady automatyki WNT, Warszawa 1974,
Manitius A.
30. P Red. Findeisen W. PORADNIK IN{YNIERA WNT, Warszawa 1973 i nowsze,
AUTOMATYKA
31. L Red. MikulczyDski T. Podstawy automatyki Oficyna Wydawnicza Politechniki
WrocBawskiej, WrocBaw 1995,
32. P SzopliDski Z. Automatyka stosowana Wydawnictwa Komunikacji i Aczno[ci,
Warszawa, 1980,
33. A Takahashi Y., Rabins M. , Sterowanie i systemy dynamiczne WNT, Warszawa 1972
Auslander D.M.
34. A Traczyk W. UkBady cyfrowe. Podstawy teoretyczne WNT, Warszawa 1982,
i metody syntezy
35. U Wajs W., Byrski W., Grega W. Mikrokomputerowe systemy
sterowania
36. L Zalewski, CegieBa Matlab - obliczenia numeryczne i ich
zastosowania
37. P {elazny M. Podstawy automatyki
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PA lab [09] rozdział 9(1)(Ćw nr 2) PA Lab CHARAKT PRZETW SREDNICH CISNIEN(Ćw nr 5) PA Lab KOMP SYSTEM MONITORINGU GENIEPA lab [01] rozdział 1(2)PA lab [11] rozdziałPA lab [07] rozdział 7PA lab [09] rozdział 9PA lab [10] rozdziałPA lab [00] introPA lab [01] rozdział 1(1)PA lab [09] wskazówki praktycznePA lab [09] rozdział 9(2)PA lab [02] rozdział 2(Ćw nr 3,4) PA Lab UKLADY PRZELACZAJACE WPROWADZENIEsysop paLab cpplab 2więcej podobnych podstron