Rozwiazywanie rownan macierzowych

ZAPIS MACIERZOWY UKAADU RÓWNAC LINIOWYCH
Układ n równań liniowych (jednorodnych lub niejednorodnych) z n niewiadomymi
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
(1)
..........................................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn,
mo\e być zapisany w tak zwanej postaci macierzowej
a11 a12 & a1n x1 b1
�ł łł �ł łł �ł łł
�ła21 a22 & a2nśł �łx2śł �łb2śł
�" = (2)
�ł śł �ł śł �ł śł
& & ń" & �" �"
�łan1 an2 & annśł �łxnśł �łbnśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Oznaczając macierz układu przez W, macierz kolumnową (wektor kolumnowy) niewiadomych przez X, zaś
macierz kolumnową wyrazów wolnych przez B, równowa\nym zapisem obu powy\szych jest
WX = B (3)
Mno\ąc równanie lewostronnie przez macierz W-1 (przy zało\eniu, \e macierz W jest nieosobliwa, tzn.
det W `" 0), tzn. przez macierz odwrotną względem macierzy współczynników W, obie strony tego równania
macierzowego, otrzymujemy
W-1WX = W-1B (4)
Z własności W-1W = I oraz I X = X więc
X = W-1B (5)
Jest to rozwiązanie układu (1) (przy zało\eniu, \e wyznacznik współczynników det W `" 0) w postaci
macierzowej. Otrzymane tą drogą rozwiązanie jest oczywiście takie samo, jak rozwiązanie wyznaczone za
pomocą wzorów Cramera.
ĆWICZENIA
1.Rozwiązać równania macierzowe
3
�ł -2
łł �ł-1 2
łł
a) X �" =
�ł5 -4śł �ł-5 6śł
�ł �ł �ł �ł
3 6 2 4
�ł łł �ł łł
b) X �" =
�ł4 8śł �ł9 18śł
�ł �ł �ł �ł
4 6 1 1
�ł łł �ł łł
c) �" X =
�ł6 9śł �ł1 1śł
�ł �ł �ł �ł
Rozwiązania
3
�ł -2
łł �ł-1 2
łł
Ad. a) Szukając rozwiązania wprowadzmy oznaczenia A =
�ł5 -4śł; B = �ł-5 6śł. Wówczas
�ł �ł �ł �ł
rozwiązaniem tego równania, jeśli macierz A jest odwracalna, jest macierz postaci X = BA-1 .
Sprawdzamy wartość wyznacznika macierzy A: det A = -2 `" 0. Zatem istnieje macierz A-1.
2
�ł -1
łł
�ł-4 -5
łł; adjA= = �ł-4 2 -1
łł
(AD)T
AD =
3śł
�ł 2 3 śł �ł-5 3śł; A = �ł5 -
�ł �ł �ł �ł
�ł2 2śł
�ł �ł
3 6 2 4
�ł łł �ł łł
Ad. b) Szukając rozwiązania wprowadzmy oznaczenia A =
�ł4 8śł; B = �ł9 18śł. Wówczas rozwiązaniem
�ł �ł �ł �ł
tego równania, jeśli macierz A jest odwracalna, byłaby macierz postaci X = BA-1 .
Sprawdzamy wartość wyznacznika macierzy A: det A = 0. Stąd nie istnieje macierz A-1 !
4 6 1 1
�ł łł �ł łł
Ad. c) Szukając rozwiązania wprowadzmy oznaczenia ę =
�ł6 9śł; C = �ł1 1śł. Wówczas rozwiązaniem
�ł �ł �ł �ł
tego równania, jeśli macierz A jest odwracalna, jest macierz postaci X = A-1C .
Sprawdzamy wartość wyznacznika macierzy A: det A = 0. Stąd nie istnieje macierz A-1 !
Układ ma jednak nieskończenie wiele rozwiązań
x1 x2
�ł łł
X =
�łx3 x4śł
�ł �ł
x1 = c1
ńł
4x1 + 6x3 =1
ńł
�łx = c2
�ł6x 9x3 2
�ł
+ =1 2x1 + 3x3 =1
ńł
�ł �ł
4x1 + 6x3 4x2 + 6x4 1 1 1
�ł łł �ł łł
=
�ł �ł2x + 3x4 =1 �łx3 = 1 1- 2c1
�ł6x1 + 9x3 6x2 + 9x4śł 1śł ( )
�ł1
�ł �ł �ł �ł + =1
2 ół 2 3
�ł4x 6x4 �ł
�ł6x2 9x4 �ł
+ =1 1
ół
= 1- 2c2
( )
�łx4
ół 3
2. (zad 5 str. 358, Matematyka dla studentów studiów technicznych , K. Dobrowolska, W.Dyczka )
Znalezć macierz, dla której
1
�ł -2 1 1
łł �ł -2 1
łł
a) 3�" - 2X =
�ł0 1 -1śł �ł-4 3 -1śł
�ł �ł �ł �ł
1
�ł -1 2 1 1 0 -2 1
łł �ł łł �ł łł
b) X - =
�ł-2 1 śł �ł-3 0 -2śł �ł-2 1 -1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Rozwiązania
1
�ł -2 1 1
łł �ł -2 1
łł
Ad. a) Oznaczmy A =
�ł0 1 -1śł; B = �ł-4 3 -1śł.
�ł �ł �ł �ł
3 1
Wówczas równanie ma postać 3�" A - 2X = B a stąd 2X = 3�" A - B X = �" A - B
2 2
Zauwa\my, \e macierz X musi mieć wymiar 2 � 3. (suma i ró\nica macierzy jest wykonalna tylko w
przypadku macierzy tego samego wymiaru; macierze A oraz B mają wymiar 2 � 3. )
1
�ł -2 1
łł
X =
�ł2 0 -1śł
�ł �ł
Sprawdzenie:
1
�ł -2 1 1
łł �ł -2 1 1 -2 1 3 - 2 -6 + 4 3 - 2 1 -2 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł
L = 3�" - 2X = 3�" - 2 = = = P
�ł0 1 -1śł �ł0 1 -1śł �ł2 0 -1śł �ł -4 3 -3 + 2śł �ł-4 3 -1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1
�ł -1 2 1 1 0
łł; B = �ł łł �ł -2 1
łł
Ad. b) Oznaczmy A =
�ł-2 1 śł �ł-3 0 -2śł; C = �ł-2 1 -1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
(AX )
Stąd równanie macierzowe jest postaci AX - B = C = C + B
Jeśli istnieje macierz odwrotna do A to
(C ) (C )
A-1AX = A-1 + B �! I2X = A-1 + B
Czyli rozwiązaniem jest macierz postaci
(C )
X = A-1 + B = A-1C + A-1B
1 -1
Spr. czy macierz A jest nieosobliwa (det A `" 0): det A = = -1 `" 0
-2 1
Zatem istnieje macierz odwrotna do A:
1 2
�ł łł
1) macierz dopełnień algebraicznych AD =
�ł1 1śł
�ł �ł
(AD)T �ł1 1łł
2) macierz dołączona adjA = =
�ł2 1śł
�ł �ł
1
�ł-1 -1
łł
3) A-1 = adjA =
det A �ł-2 -1śł
�ł �ł
Dalej liczymy
�ł-1 -1 2 1 1 2 1 1 �ł
łł łł �ł łł �ł-1 -1 2 -1 2 3 0 1
łł �ł łł �ł łł
(C )
X = A-1 + B = �"�ł�ł-3 0 -2śł + �" =
�ł�ł
�ł-2 -1śł �ł-3 0 -2śłłł = �ł-2 -1śł �ł-5 1 -3śł �ł1 1 -1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
Sprawdzenie:
1
�ł -1 2 1 1 1 -1 3 0 1 2 1 1
łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
L = X - = �" - =
�ł-2 1 śł �ł-3 0 -2śł �ł-2 1 śł �ł1 1 -1śł �ł-3 0 -2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
�ł -1 2 2 1 1 0 -2 1
łł �ł łł �ł łł
= - = = P
�ł-5 1 -3śł �ł-3 0 -2śł �ł-2 1 -1śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Własności iloczynu macierzy :
(B )
A + C = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
(ąB) (ąA)B (AB)
A = = ą
(AB)C = A(BC)
je\eli Am�n wówczas
AIn = ImA = A
3.Rozwiązać równania macierzowe
a) 3�" AX - 5�"X + D = B - 2C
b) 3�" C -13�"X + 5�" D = A + 2 �"C
c) 3�" X - 3�"XA =11�" B + 7 �"C
d) 13�" A - 3�"X - 2 �"DX = B - 2C
Rozwiązania
Ad. a) 3�" AX - 5�"X + D = B - 2C
Korzystamy z własności działań arytmetycznych na macierzach
3�" AX - 5�"X = B - 2C - D
Wyłączając wspólny czynnik tj. macierz X za nawias, gdy\ mno\enie przez macierz A jest
lewostronne
(3�" A - 5�" I)X = B - 2C - D
Następnie lewostronnie mno\ąc obie strony równania przez macierz odwrotną do 3�" A - 5 �"I (pod
warunkiem, \e macierz odwrotna istnieje) oraz uwzględniając z definicji macierzy odwrotnej
(3�" A - 5 �" I)-1(3�" A - 5�" I)
= I :
(3�" )-1(B )
I X = A - 5�" I - 2C - D
Zaś wobec własności macierzy jednostkowej I X = X co daje ostatecznie rozwiązanie
(3�" )-1(B )
X = A - 5�" I - 2C - D
Ad. b) 3�" C -13�"X + 5�" D = A + 2 �" C
Z działań arytmetycznych na macierzach odejmując stronami 3�"C oraz 5�" D
-13�"X = A + 2 �"C - 3�" C - 5�" D
Po redukcji wyrazów podobnych i podzieleniu stronami przez skalar -13 otrzymujemy ostatecznie
1
(A )
X = - - C - 5�" D
13
Ad. c) 3�" X - 3�"XA =11�" B + 7 �"C
W tym przypadku mo\na wyłączyć macierz X lewostronnie
X 3�" I - 3�"A =11�" B + 7 �"C
( )
Wyłączając ponadto skalar 3
(I )
3�" X - A =11�" B + 7 �"C
Przemna\ając prawostronnie obie strony równania przez macierz odwrotną do I - A (jeśli istnieje)
otrzymujemy
(I )(I )-1 (11�" )(I )-1
3�" X - A - A = B + 7 �"C - A
(I )(I )-1
Z własności macierzy odwrotnej - A - A = I zatem
(11�" )(I )-1
3�" X = B + 7 �"C - A
Dzieląc przez skalar 3 stronami ostatecznie
1
(11�" )(I )-1
X = B + 7 �"C - A
3
Ad. d) 13�" A - 3�"X - 2 �"DX = B - 2C
Ponownie korzystając z własności działań arytmetycznych na macierzach
(-3�"I - 2 �"D X = B - 2C -13�" A
)
(-1)
-1 3�"I + 2 �"D X = B - 2C -13�" A / �"
( )
-1
3�"I + 2 �"D X =13�" A + B + 2C / 3�"I + 2 �"D �"
( ) ( )
-1 -1
(13�" )
3�"I + 2 �"D 3�"I + 2 �"D X = 3�"I + 2 �"D A + B + 2C
( ) ( ) ( )
-1
(13�" )
IX = 3�"I + 2 �"D A + B + 2C
( )
-1
(13�" )
X = 3�"I + 2 �"D A + B + 2C
( )
4.Rozwiązać równania macierzowe
2 0 0 5 0 0
�ł łł �ł łł �ł-3 0 6
łł
�ł0 �ł0 �ł śł
X 2 0śł - 5 0śł X = 0 9 3
�ł0 0 2śł �ł0 0 5śł �ł
0 15 -12śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Rozwiązania
2 0 0 5 0 0
�ł łł �ł łł
�ł0 �ł0
Zauwa\my, \e 2 0śł = 2I3 i analogicznie 5 0śł = 5I3
�ł0 0 2śł �ł0 0 5śł
�ł �ł �ł �ł
Stąd równanie przyjmuje postać
�ł-3 0 6
łł
�ł śł
X �" 2 I3 - 5�"I3 X = 0 9 3
�ł
0 15 -12śł
�ł �ł
Z własności macierzy jednostkowej X I3 = I3 X oraz mno\enia macierzy przez skalar X �" 2 = 2 �"X
więc
�ł-3 0 6
łł
�ł śł
2 �" I3 X - 5�" I3 X = 0 9 3
�ł
0 15 -12śł
�ł �ł
Wyłączając macierz X
�ł-3 0 6
łł
�ł śł
2 �" I3
( - 5�" I3 X = 0 9 3
)
�ł
0 15 -12śł
�ł �ł
Co daje
�ł-3 0 6
łł
�ł śł
-3�" I3X = 0 9 3
�ł
0 15 -12śł
�ł �ł
Wobec własności macierzy jednostkowej I3 X = X
�ł-3 0 6
łł
�ł śł
-3�" X = 0 9 3
�ł
0 15 -12śł
�ł �ł
1
Dzieląc stronami przez skalar -3 (mno\ąc przez - )
3
�ł-3 0 6 1 0 -2
łł �ł łł
1
�ł śł �ł0
X = - 0 9 3 = -3 -1śł
3
�ł śł
0 15 -12śł �ł0 -5 4
�ł �ł �ł �ł
Sprawdzenie:
1 0 -2 2 0 0 5 0 0 1 0 -2 2 0 -4 5 0 -10
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł-3 0 6
łł
�ł0 �ł0 �ł0 �ł0 śł �ł śł
L = -3 -1śł �ł0 2 0śł - 5 0śł �ł0 -3 -1śł = -6 -2śł - -15 -5 = 0 9 3 = P
�ł0 -5 4 śł �ł0 0 2śł �ł0 0 5śł �ł0 -5 4 śł �ł0 -10 8 śł �ł0 -25 20 śł �ł
0 15 -12śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
14 Rozwiazywanie równan algebraicznych f(x)=0
Przykład numerycznego rozwiązania równania różniczkowego II rzędu
3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych
rozwiazywanie rownania kwadratowego
Metody rozwiazywania równan rózniczkowych
lab6 rozwiazywanie rownan
MNiS Rozwiazywanie rownan rozniczkowych
Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi
2 1 3 Rozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych
metody rozwiazywania rownan rozniczkowych
Rozwiazywanie rownan rozniczkowych (rozklad na ulamki proste)
Lab 5 Wizualizacja Rozwiązań Równań Różniczkowych
chomik Wybrane modele ekologiczne oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych

więcej podobnych podstron