7164239715

ANALIZA MATEMATYCZNA II (Analiza wektorowa)

A. Całka krzywoliniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego^, po luku gładkim L o opisie parametrycznym r = r(t) dla t g [a, p] całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem

P

j(p(r)dl = j(p(r(t))\r'(t)\ch gdzie: r'(t) wektor styczny do łuku w punkcie r(t)eL.

L    a

Gdy łuk przestrzenny Lc Rⁱ jest dany w postaci parametrycznej r(f) = (x(f),y(f),z(t)) dla t g[ot,/?] to wektor styczny do łuku punkcie (x(£),y(£),z(0) ^e L ma postać r'(£) = [x'(£),y'(£),z'(0] i całka

p

krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem Ję(x, y, z)dl =J^(x(£),y(r), z(t))J x^,2(t) + y^,2(t) + z'²(t)dt

L    a

Gdy łuk płaski Lei?² jest dany w postaci parametrycznej r(f) = (x(t),y(t)) dla t g \a,p] to wektor styczny do łuku punkcie (x(f),y(£)) g L ma postać r'(0 = [x'(£),y'(01 i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża

P    _

się wzorem: Ję{x,y,z)cll =J^(x(0,y(t))yl x'² (t) + y'² (t)dt

L    a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y = y(x)dla x e [a, b] to wektor styczny do łuku w punkcie (x,y(x)) e L ma postać r'(x) = [l,y'(x)] i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się

b

wzorem: J<p(x,y)dl =J(pix,y(x))yjl + ly^,(x)]²dx.

L    a

Gdy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej ( wykresu funkcji) x = x(y) dla x g [c,d]to wektor styczny do łuku w punkcie r(y) = (x(y),y) g L ma postać r\y) = [x'(y),l] i całka krzywoliniowa po tym łuku

wyraża się wzorem: J (p(x, y)dl =J ^(x(y),y)-_N/[x'(y)]² +1 • dy.

L    c

Długość łuku gładkiego L wyraża się wzorem |L| = J dl

L

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe p(x,y) na łuku gładkim Lc R² określa gęstość masy na jednostkę długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M = Jp(x,y)dl

L

b) Momenty statyczne łuku względem osi wyrażają się wzorami: S_y = jp(x,y)xdl S_x = Jp(x,y)ydl .

L    L

S    $

c)    Współrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x_s =— ; y_s = — .

M    M

Niech pole skalarne nieujemne i ciągłe p(x,y,z) na łuku gładkim Lei?³ określa gęstość masy na jednostkę długości tego łuku. Wtedy: a) Masa łuku L wyraża się wzorem M = Jp(x,y,z)c//

L

b) Momenty statyczne łuku względem płaszczyzn układu współrzędnych wyrażają się wzorami: .

^syz =jp(x,y,z)xdl; S_xl = ^p(x,y,z)ydl;    = jp(x,y,z)zdl.

L    L    L

S    s    s

c) \Vspółrzędne środka ciężkości łuku wyrażają się wzorami x_s = —^~; y_s =—~; z_s = -2-.

M    M    M

l.Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną po wskazanym łuku:

|@)[ (x + y)dl    gdzie L: brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1,0), B = (04), C = (0,0).

b) j* y]x² + y² dl gdzie L: okrąg o równaniu x² + y² = 2x.