7164239718

i)    j* xydx + x²dy gdzie V :jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (0,0), B = (1,2), C = (—1,4)

L+

zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0 .

j)    J x²ydx + xy(y+l)dy gdzie L jest okręgiem x² + y² = 2y zorientowanym dodatnio względem wnętrza.

L+

Odp: 0

k)

(3x+Sz)dx+(x + 4y)dy+(6x-z)dz gdzie! jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (2,0,0), B = (0,2,0),

L+

C = (0,0,2) zorientowanym ABCA Odp: 0

2.0bliczyć pracę w podanym polu sił po wskazanym luku zorientowanym:

a)    W(x,y,z) =[2xy,x² ] gdzie jest odcinkiem o początku A = (1,0) i końcu B = (0,3). Odp: 0

b) W(x,y,z)=[xy,y + z,z] gdzie L^jest lukiem r(t) = (cost,sint,t) o początku A = (1,0,0) i końcu B = (—1,0,/r). Odp: 0,5;r²

c) W(x,y,z)=lxy² ,yz², zx²] gdzie L_AB odcinek o początku A = (1,0,1) i końcu B = (2,1,0) Odp: --i

d)    VV(x,y, z) = [4xy,y, x²]gdzie L^ jest lukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego y = x² i płaszczyzny z = y -1 o początku A = (—1,1,0) i końcu B = (0,0,-l) . Odp: - 2

3. Wykazać, że całka nie zależy od drogi całkowania w odpowiednio wybranym obszarze wypukłym a następnie obliczyć tę całkę:

a)    |(4xy³ - —)dx + (6x²y² + —r)dy dla A= (0,l)i B = (3,2) .

Lab    ^y    y

e)    jye~^xdx + (2y-e~^x)dy    dla A = (0,0)i B = (1,-2)

Lab

b)    j(2x + yz)dx + (3y² +xz)dy + (4z³ + xy)dz dla A = (0,0,0)i B = (1,U) .

L AB

c)    j z²dx + 2yzdy+(2xz +y²)dz dla A = (0,0,0) i B = (1,1,1) .Odp: (p{x_yy_yz)-xz² +y² z i 2.

o f (l--+y)dx + {-+Ą)dy-^dz    A = (1,1,1)i B = (0,2,3)■

y z z y z

^lab    ^y    J

4. Obliczyć całkę krzywoliniową po brzegu dD dodatnio zorientowanym względem wnętrza obszaru D, ze wzoru Greena i bezpośrednio, gdy:

a) J (^e* + y¹ )dx + (e^y + x² )dy gdzie dD brzeg obszaru D ograniczonego krzywymi y = x² i y = x .Odp: —

3 0

b)    J ydx — (y + x² )dy gdzie dD brzeg obszaru D = {(x,y) e R² :0 < y < 2x- x²} Odp: 4

«5D'

c)    f x²ydx-xy²dy gdzie dD brzeg obszaru D = {(x,y) sR² :y>0/\x² +y² <1} Odp:-— n

J    4

d)    J (x² + y)dx + (x + y² )dy gdzie dD brzeg trójkąta D o wierzchołkach A = (1,1), B = (3,2), C = (2,5) Odp: 0

cD“

e)    J xydx - y ²dy gdzie dD brzeg trójkąta D o wierzchołkach A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1).

SD’

C. Całka powierzchniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego <p, po płacie regulamymS o opisie parametrycznym r = r(u, v) dla (u, v)eAcR² wyraża się wzorem:

jj (p(r)ds = j| ę>(r(u,v))|Ń(u,v)|c/A gdzie: JV(u,v) = r_u(ii,v)xr_v(u,v)wektor normalny do płata w punkcie r(u,v) e S

Gdy płat S a R³ jest dany w postaci parametrycznej r(u,v) = (x(u,v),y(u, v),z(u,v)) dla (u,v) e A to