11826

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Wkłady oszczędnościowe z uwzględnieniem inflacji Paweł Czudecki

Stan kapitału na koncie (R_n) po n okresach stopy procentowej r jest różnicą między zaktualizowaną na ten moment wartością kapitału początkowego i wypłaconych rent: |    = /f_n — S_n |, gdzie K_n = K qⁿ

(q = 1 + r) jest wartością przyszłą kapitału początkowego K, z kolei S_n określa przyszłą wartość ciągu wypłat i zależy od warunków wypłat i okresu kapitalizacji.

Renta czasowa - wypłacana przez określony czas.

Niech N oznacza czas (mierzony okresami stopy procentowej), po którym R_N = 0.

Wówczas\K q^N = S^\ wartość przyszła kapitału, z którego wypłacamy rentę, jest równa przyszłej wartości wypłaconych rent.

W ten sposób kapitał rentowy K jest wartością teraźniejszą ciągu wypłat K = S_N • q~^N.

Zad.l. Pani Ania otrzymała spadek w wysokości 30 000 [zł] i postanowiła, iż kwota ta będzie jej zabezpieczeniem w przyszłości. Z pewnym funduszem emerytalnym zawarła następującą umowę: wpłacona dziś cała kwota spadku, będzie w chwili jej przejścia na emeryturę (za 5,5 roku) kapitałem rentowym, z którego przez 15 lat będzie mogła pobierać rentę miesięczną z dołu, przy kapitalizacji miesięcznej (złożonej z dołu) i oprocentowaniu w skali miesiąca 0,4%. Jaka będzie wysokość tej renty?

Zad.2. Jakiej wysokości wpłat należy dokonywać na koniec każdego miesiąca przez 30 lat poprzedzających przejście na emeryturę, aby przez następnych 12 lat otrzymywać kwartalnie z góry stałą kwotę w wysokości 5 000 [zł]? Kapitalizacja jest miesięczna (złożona z dołu) i roczna stopa procentowa wynosi dla okresu wpłat 5,4%, a dla okresu wypłat 6%.

Zad.3. Jak długo można wypłacać z kapitału rentowego 20 000 [zł] rentę miesięczną z góry w wysokości 340 [zł], przy kapitalizacji półrocznej i rocznej stopie 6%. Rozstrzygnąć problem ostatniej renty a) niepełnej, b) zwiększonej.

Renta wieczysta - jej wypłata nie zmniejsza kapitału rentowego (w przeciwieństwie do renty czasowej)

Dla modelu renty zgodnej (OW = OK) i kapitalizacji złożonej, maksymalne renty wieczyste określone są równaniami:

• W_max — Kr    dla renty wypłacanej z dołu;

• W_max = ^    dla renty wypłacanej z góry.

K jest kapitałem, z którego wypłacana jest renta.

Uwaga. Stopa procentowa r jest stopą o okresie równym okresowi kapitalizacji (który należy dostosować do okresu wypłat). Stąd, w zależności od warunków oprocentowania może to być stopa względna, równoważna lub efektywna.

Uwaga. Każda renta W mniejsza od maksymalnej renty wieczystej też jest rentą wieczystą.

20