2808185667

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Wkłady oszczędnościowe Paweł Czudecki

Ciągi płatności — wkłady oszczędnościowe

Rozpatrzmy sytuację, w której na konto bankowe wpłacane są w stałych odstępach czasu różne kwoty. Rachunek procentowy wkładów oszczędnościowych sprowadza się do wyznaczenia aktualnej wartości sumy wkładów, gdzie wartością ciągu płatności w momencie t nazywamy sumę zaktualizowanych na ten moment wartości poszczególnych kwot, które mogą być traktowane jako oddzielne lokaty. Zatem, analizując problem oprocentowania wkładów oszczędności owych należy uwzględnić w przypadku kapitalizacji prostej okres stopy procentowej i okres wpłat (częstość), a w przypadku kapitalizacji złożonej, również okres kapitalizacji. Stąd rozpatruje się wkłady zgodne (wszystkie okresy są równe) lub niezgodne. Ponadto wkłady mogą być równej lub różnej wysokości, dokonywane na końcu (z dołu) lub na początku (z góry) okresu stopy procentowej.

Model oprocentowania prostego

a) wkłady zgodne (okres wkładów = okres stopy procentowej r)

Załóżmy, że wkłady W_v..., W„ dokonywane są z dołu zgodnie z okresem stopy procentowej. Wówczas wartość końcowa (przyszła) po n okresach stopy procentowej jest równa:

S_n = W_X + - + W_n + Z. gdzie Z = W_x(n - 1 )r + W₂(n- 2)r + - + W_n__xr.

W szczególnym przypadku, gdy W_t = const = W dla i = 1,, n, wartość przyszłą ciągu płatności określa wzór: S_n = nW (l + ~T~^r)-

Dla wkładów dokonywanych z góry, wartość odsetek po n okresach stopy procentowej wynosi Z = W_xnr + W₂(n - l)r + - + W_nr.

Dla wkładów równej wysokości, W_{ = W dla i = 1,..., n, otrzymujemy wzór na wyznaczenie przyszłej wartości ciągu płatności: Ś_n = nW ( l +

Wartości teraźniejsze (S₀) otrzymujemy z zależności S„ = S₀(l 4- nr).

Sn    l+=rr)

1+nr    1 +nr

l+nr    1+nr

Dla wkładów z dołu teraźniejszą wartość ciągu płatności określa wzór : S₀

Dla wkładów z góry teraźniejsza wartość ciągu płatności wynosi: S₀

Wartość 5₀ dla wkładów oszczędnościowych określa kwotę, która wpłacona na początku oszczędzania da taką samą wartość przyszłą jaką daje ciąg wpłat po n okresach stopy procentowej.

b) wkłady niezgodne (okres wkładów ^ okres stopy procentowej r)

Uzgodnienie wkładów polega na zastosowaniu względnej stopy procentowej (zamiast stopy r), tak by okres stopy r_w = okres wpływów. Czas n mierzony jest wówczas okresami stopy względnej.

15