11822

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Zmienne stopy procentowe i inflacja Paweł Czudecki

Oprocentowanie z uwzględnieniem inflacji

Dotychczas mówiliśmy o zmianie wartości pieniądza w czasie w ujęciu nominalnym, tzn. w cenach towarów i usług z ubiegłego okresu. Jest to efekt nie uwzględnienia inflacji. Jednak w związku ze wzrostem cen towarów i usług, realny (rzeczywisty) wzrost wartości pieniądza jest mniejszy. Realne tempo pomnażania wartości pieniądza w czasie nazywamy realną stopą procentową i oznaczamy symbolem r_re.

Miarą inflacji jest tzw. indeks cen konsumpcyjnych, który jest równy stosunkowi cen dóbr należących do „reprezentatywnego koszyka” w danym okresie czasu do cen tych dóbr w okresie bazowym, najczęściej w roku ubiegłym.

Załóżmy, że kapitalizacja jest zgodna złożona z dołu oraz okres stopy procentowej r jest równy okresowi inflacji. Nominalny wzrost wartości kapitału K₀ po jednym okresie wyraża formula: K^nom = K₀(\ + r). Jest to przyszła wartość kapitału K₀ wyrażona w starych cenach (z ubiegłego okresu). Rzeczywisty wzrost wartości kapitału (porównywalny ze wzrostem cen), czyli wyrażony w cenach bieżących jest określony formułą: K^re = K₀ • —

Stąd stopę rzeczywistego pomnażania wartości kapitału K₀ w tym czasie, a więc realną stopę procentową, określa równanie /f₀(l + r_re) = K₀ •    r_re = ~

Przykład. Roczne oprocentowanie lokaty, przy kapitalizacji rocznej złożonej z dołu, wynosi 4%, a roczna stopa inflacji jest równa 2%. Jaka jest realna roczna stopa procentowa?

Uwaga. W powyższym wzorze okresy stóp (procentowej i inflacji) są równe okresowi kapitalizacji. Zatem w przypadku kapitalizacji niezgodnej (w podokresach lub nadokresach stopy inflacji) zachodzi konieczność wyznaczenia stopy efektywnej lub równoważnej. „Dopasowanie” takie może się odnosić zarówno do (względnej) stopy procentowej „r”, jak i stopy inflacji „i”. Ponadto, jeśli stopa inflacji jest stopą zmienną w czasie, należy wyznaczyć (przeciętną) stopę inflacji o okresie równym okresowi kapitalizacji (= okres stopy względnej).

Zad.3. Wyznaczyć roczną realną stopę procentową, jeżeli kapitalizacja jest półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 4%, a roczna stopa inflacji wynosi 2%.

Zad.4. Wyznaczyć realną roczną stopę procentową, jeżeli roczne oprocentowanie lokaty wynosi 10% (przy kapitalizacji rocznej złożonej z dołu), a stopa inflacji zmieniała się kwartalnie i wynosiła w kolejnych kwartałach: 2%, 3%, 3%, 4%.

Zad.5. Wyznaczyć realną wartość kapitału 30 000 zł po upływie 4 lat, jeżeli bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy stopie rocznej 9%, z kolei przewidywana roczna stopa inflacji w kolejnych latach ma wynosić: 3%, 4%, 4%, 3,5%.

Zad.6. Wyznaczyć realną wartość lokaty 1000 zł . po jednym roku, jeżeli kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu przy rocznej stopie 4%, natomiast przewidywana miesięczna stopa inflacji wynosi 0,5%. Zadanie rozwiązać dwoma różnymi sposobami.

Zad.7. W ciągu 3 lat półroczna stopa inflacji ulegała zmianom i w kolejnych półroczach wynosiła odpowiednio: 1%, 0,8%, 0,9%, 0,9%, 0,9%, 0,8%. Jaki kapitał wpłacono do banku, jeżeli po 3 latach kapitalizacji złożonej z dołu: a) półrocznej, b) rocznej, c) kwartalnej, jego realna wartość wynosiła 1 194,56 zł?

Niektóre odpowiedzi:

Zad 1 r - 0,266074105

Zad 2 a) 1,56% b) 0,0639% c) 0,0315% d) 0,0052%    7

Zad 3 r = 0,02 Zad 6K- 980,15