11820

Matematyka Finansowa - ćwiczenia Rodzaje oprocentowania Paweł Czudecki

(3) Kapitalizacja złożona z góry (zgodna): oprocentowaniu podlega cały kapitał zgromadzony na koncie (tj. wraz z dopisanymi odsetkami), przy czym odsetki są wyznaczane i dopisywane do kapitału na początku okresu kapitalizacji.

Wartość kapitału po (n + 1) okresach stopy procentowej wynosi: K_n+1 = K_n + Z_n+1, gdzie odsetki za (n + 1) okres stopy procentowej są równe:

= Kn ■ r + K_n ■ r² +    = K„ ■ (1 - r)-.

Wartość kapitału K₀ po n okresach stopy procentowej r wyznaczamy ze wzoru:

K„=K₀(l-r)-ⁿ

n (n 6 N) - czas mierzony okresami stopy procentowej r, (1 - r)“ⁿ - współczynnik akumulacji. Kapitalizacja niezgodna (OR * OK).

Rachunek procentowy w przypadku kapitalizacji niezgodnej jest analogiczny do rachunku procentowego dla kapitalizacji zgodnej, przy czym wymagane jest określenie i stosowanie względnej stopy procentowej (r_w), której okres jest równy okresowi kapitalizacji. Zatem stosujemy te same wzory na wyznaczanie wartości przyszłej kapitału pamiętając, że stopa procentowa, której używamy, zawsze musi być stopą względną. Wówczas n określa czas mierzony okresami stopy względnej.

Względną stopę procentową wyznaczamy ze wzoru: r_w = gdzie m jest stosunkiem okresu stopy procentowej r do okresu kapitalizacji.

Uwaga.

•    W modelu kapitalizacji złożonej z dołu ciąg (K_n)_neN jest rosnący względem m (im krótszy jest okres kapitalizacji, tym większe jest K_n dla ustalonego czasu trwania lokaty i stałego r).

•    W modelu kapitalizacji złożonej z góry ciąg (K_n)_neN jest malejący względem m.

Jeśli m -> +oo (kapitalizacja ciągła) otrzymujemy:

K_t=K₀e^tr

t (t G 1R+) - czas mierzony okresami stopy procentowej r.

Wartość K_t nie zależy od przyjętego okresu stopy procentowej r.

Zadania

Zad.l. Obliczyć wartość lokaty 100 zł po upływie 6 lat, jeżeli nominalna roczna stopa procentowa wynosi 6% oraz kapitalizacja jest: a) roczna prosta, b) półroczna prosta, c) dwuletnia prosta, d) roczna złożona z dołu, e) miesięczna złożona z dołu, f) dzienna złożona z dołu, g) 1,5 roczna złożona z dołu, h) roczna złożona z góry, i) trzyletnia złożona z góry, j) kwartalna złożona z góry, k) ciągła.

Zad.2. Za 10 miesięcy otrzymamy nagrodę w wysokości 200 euro. Kwota ta zdyskontowana na 4 miesiące według modelu kapitalizacji miesięcznej prostej daje wartość 170 euro. Jaka jest teraźniejsza wartość nagrody?

2